goniometrische formules

[#ELSieketje#]

opgave is : toon aan zonder rekenmachine


(cos20° - cos 10°) / sin5° = (wortel2 - wortel6) / 2

help me plzzz....

kuzz op voorhand
elzjuh

[pol]

We vereenvoudigen eerst :

(cos20°-cos10°) = -2 * sin15° * sin5°

(We hebben daarvoor de formule van Simpson gebruikt).

Van je oorspronkelijke som blijft dit over :

-2 * sin15°

Via de verdubblingsformule : 2*(sina)^2 = 1-cos2a vinden we voor sin15° : (want we weten dat cos30° = sqrt(3)/2)

sin15° = -sqrt(2-sqrt(3))

Met nog een formule vereenvoudigt dit tot :

-(sqrt(3/2)-sqrt(1/2)). (dit is wat we moesten uitkomen).

Ter info :

sqrt(A-sqrt(B)) = sqrt((A+C)/2) - sqrt((A-C)/2) met C^2 = A^2- B

[#ELSieketje#]

ow ja natuurlijk, dat kan allemaal wel zijn, maar euhm, van de helft wat je me nu vertelt, heb ik nog nix geleerd op school!!

het enige wat ik tot nu toe heb gezien van gonio-formules :
- som- en verschilformules
- verdubbelings- en halveringsformules
- simpson

plz een oplossing met deze formules??
thx, elzjuh

[[Pierewiet]]

Verschil van 2 goniometrische functies:
cos a - cos b = -2sin{(a+b)/2}*sin{(a-b)/2}
cos 20º - sin 10º = -2sin{20º+10º)/2}*sin{(20º-10º)/2}= -2sin15ºsin5º

Dus (-2sin15ºsin5º)/sin5º= -2sin15º

Functie dubbele hoek:
cos 2a = cos^2a - sin^2a = 1 - 2sin^2a= 2cos^2a - 1

1 - 2sin^2a = cos 2a => -2sin^2a = cos 2a - 1 =>
2sin^2a = 1 - cos 2a => sin^2a = ½ - ½cos 2a

Dus: sin^2 15º = ½ - ½cos (2*15º) = ½ - ½cos 30º
(sqrt = wortel)
We weten dat cos 30º = ½sqrt3

sin^2 15º = ½ - ½*½sqrt3 =>
sin 15º = sqrt(½ - ¼qrt3) = sqrt{(2 - sqrt3)/4} = ½sqrt(2-sqrt3)