som van 1/n

[ducky]

kan iemand mij uitleggen waarom de Σ (n=1 naar ∞ ) 1/n divergent is?
mij is vertelt dat dat is omdat lim (n naar ∞ ) 1/n te langzaam naar 0 gaat, maar deze gaat toch uiteindelijk wel naar 0 en zou dus convergent moeten zijn?

[Just Johan]

ducky schreef:
kan iemand mij uitleggen waarom de Σ (n=1 naar ∞ ) 1/n divergent is?
mij is vertelt dat dat is omdat lim (n naar ∞ ) 1/n te langzaam naar 0 gaat, maar deze gaat toch uiteindelijk wel naar 0 en zou dus convergent moeten zijn?

De primitieve van 1/x is ln|x|, en de integraal van 1 tot oneindig van 1/x = (ln(oneindig) - ln 1) = oneindig.

edittorende verwisseling verbeterd

[mathfreak]

ducky schreef:
kan iemand mij uitleggen waarom de Σ (n=1 naar ∞ ) 1/n divergent is?
mij is vertelt dat dat is omdat lim (n naar ∞ ) 1/n te langzaam naar 0 gaat, maar deze gaat toch uiteindelijk wel naar 0 en zou dus convergent moeten zijn?

Het is wel zo dat de rij a_n, gedefinieerd door a_n=1/n voor n naderend tot oneindig naar nul convergeert (en dus een nulrij is zoals dat heet), maar dat wil niet zeggen dat de bijbehorende reeks ook convergent is. Indien S_n de som van de eerste n termen van een gegeven rij a_n voorstelt, waarbij S_n de n-de partiële som wordt genoemd kunnen we stellen dat de bij een rij behorende reeks (de som van de eenste n termen van de rij voor n naderend tot oneindig) convergent is als de rij van de partiële sommen dat ook is. Voor de rij a_n, gedefinieerd door a_n=1/n blijkt dat niet het geval te zijn, vandaar dat de bijbehorende reeks (die als de harmonische reeks bekend staat) divergent is.

[ducky]

ja, maar waarom gaat 1/n naar oneinig dan?
ik bedoel, 1/1 + 1/2 + 1/3 +... + 1/n gaat omhoog, dat snap ik, maar als je op een gegeven moment bij ....+ 1/10000000000 +.... bent, dan komt er bijna niks meer bij en zou je zeggen dat 1/n dus convergeert naar een bepaald getal?

of is dit nu weer gewoon een standaard regel, waar je niet over moet nadenken?

en als dat zo is, klopt het dan als ik zeg 1/wortel > 1/n , dus 1/wortel divergeert ook?

en waarom convergeert 1/2n dan wel, (omdat deze sneller naar 0 loopt?)?

[Just Johan]

(Met dank aan Arjen Stolk):
Bekijk: 1/2 + 1/3 +1/4 +1/5 +1/6 +1/7 +1/8 +...

De eerste term is een half; de volgende twee zijn samen meer dan een half; de volgende vier zijn samen meer dan een half, de volgende acht zijn samen meer dan een half... etc.

Dat is in te zien door te kijken naar waar de machten van twee zich in de noemer bevinden en op te merken dat de laatste in zo'n rijtje de kleinste is en als gemiddelde al voldoet.

Zo kun je er oneindig vaak een half uit halen en dus gaat de som naar oneindig en divergeert het geheel.

[ducky]

dank je