[wiskunde] kringintegralen

[damaetas]

pfrt. ik ben helemaal in de war door die wiskunde
tzal me leren die oefenzittingen over te slaan

bereken de volgende kringintegraal mbv de stelling van green.
(laten we ff aannemen dat '{' het (kring)integraalteken is )

{ [2xy / (x²+y²)²] dx + [(y²-x²) / (x²+y²)²] dy

over de kromme C = cirkel met middelpunt (0.2) en straal 1 (wat is daar trouwens de vergelijking van?)

en als ik niet een of andere beschamende rekenfout heb gemaakt bij het afleiden, dan leidt dat volgens Green en mij tot:


{{ (-4xy²) / (x²+y²)² dxdy

maar ik zou absoluut niet weten wat de grenzen voor x en y zijn om dat gebied te krijgen


ps: volgens het boek is dit een conservatief vectorveld en moet de oplossing dus 'nul' zijn

groetjes, eva (aaaaargh STRESSSSSS )

[GinnyPig]

Green zegt:

{ Pdx + Qdy = {{ ( dQ/dx - dP/dy ) dxdy

Hierbij is de eerste integraal kringintegraal over de kromme, en tweede integraal is de dubbele integraal over het oppervlak dat wordt omsloten door diezelfde kromme.

In jouw geval geldt:
P = 2xy / (x²+y²)²
Q = [(y²-x²) / (x²+y²)²]

Dus:
dP/dy = 2x(x²-3y²)/(x²+y²)³
dQ/dx = 2x(x²-3y²)/(x²+y²)³

Oftewel, als je het van elkaar aftrekt, is het gelijk aan 0. Dit is ook logisch, want het is een conservatief vectorveld (volgens het boek ). Het zou dan dus ook niet uitmaken wat voor kromme je kiest: zolang het een gesloten kromme is, is de uitkomst van de kringintegraal altijd 0.

Maar als er nou geen sprake zou zijn een conservatief vectorveld, dan zou er dus gebruik van moeten wordeng gemaakt van de gegeven kromme. De kromme wordt in dit geval gegeven door een cirkel met straal 1 en middelpunt (0,2). De algemene vergelijking voor een cirkel met straal r en middelpunt (a,b) is: (x-a)² + (y-b)² = r².

In dit geval dus:
x² + (y-2)² = 1

Oftewel: y = Sqrt[ 1 - x² ] + 2

Voor de grenswaarden van het oppervlak geldt dan dus:

-1 < x < 1
-Sqrt[ 1 - x² ] + 2 < y < Sqrt[ 1 - x² ] + 2

Maar die zijn in dit geval niet van belang, aangezien het vectorveld conservatief 0 is (en dus is ieder gekozen kringintegraal 0).

[damaetas]

bedankt!