extremumvraagstuk

[vosje16]

Een kegel is beschreven om een bol met straal r. Bereken de verhouding van het volume van de kegel en de bol als het volume van de kegel minimaal is.

straal bol = r
straal grondvlak kegel = R
hoogte kegel = h

Inhoud kegel = 1/3 * r² * pi * h
Inhoud bol = 4/3 * r³ * pi

Iemand enig idee hoe ik hieraan moet beginnen?
(Het moet niet helemaal opgelost worden, de afgeleide enzo vind ik zelf wel)

[mathfreak]

vosje16 schreef op 06-10-2003 @ 18:35:
Een kegel is beschreven om een bol met straal r. Bereken de verhouding van het volume van de kegel en de bol als het volume van de kegel minimaal is.

straal bol = r
straal grondvlak kegel = R
hoogte kegel = h

Inhoud kegel = 1/3 * r² * pi * h
Inhoud bol = 4/3 * r³ * pi

Iemand enig idee hoe ik hieraan moet beginnen?
(Het moet niet helemaal opgelost worden, de afgeleide enzo vind ik zelf wel)

Begin maar eens met een tekening. Teken een gelijkbenige driehoek met basis 2*R en hoogte h die de cirkel met straal r als ingeschreven cirkel heeft. Deze driehoek stelt de kegel voor die om de bol is omschreven, en de cirkel stelt de desbetreffende bol voor. Voor h=1/2*R*sqrt(3) blijkt het volume van de kegel minimaal te zijn. De driehoek is dan gelijkzijdig, dus het apothema van de kegel is dan gelijk aan de middellijn 2*R van het grondvlak. Druk R uit in r en gebruik de formules voor het volume van de kegel en de bol om de gevraagde volumeverhouding tussen de kegel en de bol te vinden.