√x [1,4] = x2 [1,2] ?

[Calcus]

Een grafiek met de formule y= x2 met het domein [1,2] is qua lengte gelijk met een grafiek met de formule: y = √x met een domein van [1,4]

Waarom is dat zo ? En hoe kan je het algebraïsche oplossen ? Verder dan dat het een spiegeling is ben ik niet gekomen ..

Calcus schreef op 13-03-2004 @ 15:54:
Een grafiek met de formule y= x2 met het domein [1,2] is qua lengte gelijk met een grafiek met de formule: y = √x met een domein van [1,4]

Waarom is dat zo ? En hoe kan je het algebraïsche oplossen ? Verder dan dat het een spiegeling is ben ik niet gekomen ..

booglengte van de grafiek:

L=(ingegraal van a tot b)sqrt(1+(f'(x))²)dx

even oplossen voor allebei je functies

[Calcus]

Zou je even kunnen uitleggen hoe je dat precies moet uitwerken (bijvoorbeeld bij alleen bij x2) want ik ben het wel eerder tegen gekomen (integraalrekenen) maar ik begrijp er nog neit zo veel van !

Kan je me in de goede richting helpen ?

Calcus schreef op 13-03-2004 @ 16:06:
Zou je even kunnen uitleggen hoe je dat precies moet uitwerken (bijvoorbeeld bij alleen bij x2) want ik ben het wel eerder tegen gekomen (integraalrekenen) maar ik begrijp er nog neit zo veel van !

Kan je me in de goede richting helpen ?

eerst het gedeelte onder het integraalteken:
sqrt(1+(f'(x))² = sqrt(1+4x²)
daar de integraal over nemen, en op het vwo moest je dit grafisch-nummeriek oplossen
(je hebt de substitutieregel nog niet gehad neem ik aan...)

[Fade of Light]

riemannsom?

[Calcus]

substitutieregel heb ik nog neit gehad... En met x2 bedoel ik x^2

Maargoed ik weet niet precies hoe het nou meot .

[mathfreak]

Calcus schreef op 13-03-2004 @ 17:39:
substitutieregel heb ik nog niet gehad... En met x2 bedoel ik x²

Maargoed ik weet niet precies hoe het nou moet .

Je was wat het spiegelen in de lijn y=x betreft in ieder geval op de goede weg. Laat f: x->x² en g: x->sqrt(x) gegeven zijn en D_f en B_f het domein en het bereik van f zijn, dan geldt: D_f=B_g=[1,2] en D_g=B_f=[1,4], aangezien f en g voor het gegeven domein en bereik elkaars inverse functie zijn.
FlorisvdB had al aangegeven dat je, om de booglengte voor f te berekenen, de integraal van sqrt(1+4*x²) moet bepalen tussen de grenzen x=1 en x=2. De primitieve van sqrt(1+4*x²) wordt weliswaar niet op het v.w.o. behandeld, maar deze bestaat wel en is gelijk aan x*sqrt(1+4*x²)+1/4*ln(x+sqrt(1+4*x²))+c. Voor de gevraagde booglengte vind je in dit geval de lengte 2*sqrt(17)+1/4*ln(2+sqrt(17))-sqrt(5)-1/4*ln(1+sqrt(5)).
Om nu te laten zien dat de bij g behorende booglengte even groot is bepalen we eerst sqrt(1+g'²)=sqrt(1+(1/[2*sqrt(x)]²)=sqrt(1+1/(4*x))=sqrt([4*x+1]/[4*x]). Stel nu x=t², dan gaat de integraal van
sqrt(1+1/(4*x))*dx over in sqrt([4*t²+1]/[4*t²])*d(t²)
=sqrt(4*t²+1)/(2*t)*2*t*dt=sqrt(4*t²+1)*dt. Omdat x in dit geval varieert van 1 tot 4 zal t variëren van 1 tot 2. We zien dus dat we de integraal van sqrt(4*t²+1) tussen de grenzen t=1 en t=2 moeten bepalen. Deze hebben we voor f al bepaald, en zoals je ziet vinden we dus dezelfde booglengte.
Opmerking: voor het bepalen van deze integraal heb ik in dit geval de substitutiemethode toegepast, maar deze integratiemethode wordt, net als de methode voor partieel integreren, niet meer op het v.w.o. onderwezen.

Calcus schreef op 13-03-2004 @ 17:39:
substitutieregel heb ik nog neit gehad... En met x2 bedoel ik x^2

Maargoed ik weet niet precies hoe het nou meot .

ik ben er ook vanuit gegaan dat het x² moest zijn

we kijken eerst alleen naar wat er achter het integraalteken uit mijn eerste post gebeurt: sqrt(1+(f'(x))²)
f'(x) (de afgeleide van x²) is 2x

dan wordt dit dus sqrt(1+(2x)²) = sqrt(1+4x²)

zet dit dan in je GR en integreer het even met die prachtige optie van je rekenmachine in het domein waarin je de functie bekijkt en je hebt je booglengte