(A+B+C)^n [WIS]

[funky!]

Hallo mensen,
ik moet een opdracht maken met daarin de formule uitgewerkt van (A+B+C)^N

Ik ben al een eindje op weg, en ben er achter gekomen hoe ik de coëeficienten moet uitrekenen.

het coeficient van bijvoorbeeld a2×b3×c2 in (a+b+c)^7
moet zijn: n!
-------------------
2!×3!×2!

ik moet nu nog alleen een manier verzinnen om al die mogenlijkheden van (a+b+c)^n bij elkaar op te tellen.

bij (a+b+c)^2 is dat bijvoorbeeld

2! / 2!×0!×0!× a^2×b^0×c^0 +
2! / 1!×1!+0!× a^1×b^1×c^0 +
2! / 1!×0!×1!× a^1×b^0×c^1 +
2! / 0!×2!×1!× a^0×b^2×c^0 +
2! / 0!×1!×1!× a^0×b^1×c^1 +
2! / 0!×0!×2!× a^0×b^0×c^2.

Maar hoe je dit nou simpel opschrijft?
Ik zou het niet weten. Iemand ideen?

[snookdogg85]

Het enige wat ik voor je kan doen op dit moment is de formule geven:

(a+b+c)ⁿ=aⁿ+bⁿ+cⁿ+ab^n-1+ac^n-1+ba^n-1+bc^n-1+ca^n-1+cb^n-1

waarbij n=2,3,4.....

[blablalou]

hallo B..t,

Volgens...
http://mathforum.org/library/drmath/view/51601.html
zijn meer mensen met dit probleem bezig, dat als trinomial theorem hier...
http://www.spd.dcu.ie/staff/breens/1.../102sub7,2.pdf
... behandeld wordt

[GinnyPig]

Eerst even een afspraak:

met SOM_k=0ⁿ bedoel ik sommeren over k (sigma-teken), van k = 0 tot k = n.

Ga uit van het binomiaal van Newton:



Wat ik noteer als: (a+x)ⁿ = SOM_k=0ⁿ{ (n boven k)*a^kx^n-k }

Vul in: x = b+c
(a+b+c)ⁿ = SOM_k=0ⁿ{ (n boven k)*a^k(b+c)^n-k }

Waarbij
(b+c)^n-k = SOM_m=0^n-k{ (n-k boven m)*b^mc^n-k-m }

Dit geeft dan:
(a+b+c)ⁿ =
SOM_k=0ⁿ{SOM_m=0^n-k{(n-k boven m)*(n boven k)*a^kb^mc^n-k-m }}

Er geldt verder nog:
n boven k = n!/(k!(n-k)!)
En dus:
(n boven k)*(n-k boven m) = n!/(k!(n-k)!) (n-k)!/(m!(n-k-m)!) = n!/(k!m!(n-k-m)!)

De algemene formule is dus een dubbele sommatie over k en m:
(a+b+c)ⁿ = SOM_k=0ⁿ{SOM_m=0^n-k{ n!/(k!m!(n-k-m)!)*a^kb^mc^n-k-m }}

Neem je bijvoorbeeld (a+b+c)¹⁰, dan krijg je voor de coefficient van: a³b³c⁴

n = 10
m = 3
k = 3

Coefficient = n!/(k!m!(n-k-m)!) = 10!/(3!3!4!) = 4200

[funky!]

Woei bedankt mensen

[funky!]

Dit geeft dan:
(a+b+c)n =
SOMk=0n{SOMm=0n-k{(n-k boven m)*(n boven k)*akbmcn-k-m }}

Moet dit dan niet zijn:

(a+b+c)n =

SOMk=0^n {(n-k boven m)*(n boven k)*a^k* SOMm=0^n-k{ (n-k boven m)*b^mc^n-k-m }

[funky!]

Neem je bijvoorbeeld (a+b+c)10, dan krijg je voor de coefficient van: a^3b^3c^4 n=10, m=3, k=3

En dit laatste stukkie snap ik niet helemaal

[blablalou]

hey B...t,

kijk nu eens naar de voorbeelden van Dr Math...
http://mathforum.org/library/drmath/view/51601.html
..dan zie je toch onmiddellijk dat voor a^3b^3c^4
met k = 3,l=3,m=4 dus n = k+l+m=10
=>de factor 10!/3!3!4! wordt

[funky!]

Weet iemand of dit klopt?

[funky!]

ik hoop dat het leesbaar is

[mathfreak]

Bigfoot schreef op 26-05-2004 @ 19:50 :
Weet iemand of dit klopt?

[afbeelding]

Ik heb het zojuist bekeken en ik ga er van uit dat het zo inderdaad klopt.

[funky!]

Danku danku!