Het getal 9

[DruidessI]

Ooit hier al eens bij stil gestaan?

Met welk getal je 9 ook mee vermenigvuldigt, de som van de uitkomst, resulteert in 9:

3 * 9 = 27
2 + 7 = 9

5 * 9 = 45
4 + 5 = 9

Alleen 11 doet moeilijk
11 * 9 = 99
9 + 9 =/= 9

12 lukt weer wel:
12 * 9 = 108
1 + 0 + 8 = 9

22 doet ook weer moeilijk,
33 dus ook
44 ook etc.

Maar voor de rest komt het wel uit

Grt
Suzan

Waarom doet 11 moeilijk?

11*9=99
9+9=18
1+8=9

22*9=198
1+9+8=18
1+8=9

proberen:

18564*9=167076
1+6+7+0+7+6=27
2+7=9

[mathfreak]

Wanneer je 11 met 9 vermenigvuldigt en in de uitkomst 99 de som van de cijfers optelt krijg je 18. Tel je de som van de cijfers in 18 op dan krijg je uiteindelijk ook 9. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de stelling: als a=c mod 9 en b=d mod 9, dan geldt: a+b=(c+d) mod 9. Met a=c mod 9 wordt aangegeven dat a bij deling door 9 een rest c geeft. Een andere stelling die met delen door 9 te maken heeft is de volgende: als a=c mod 9 en b=d mod 9, dan geldt:
a*b=(c*d)mod 9. Op deze twee stellingen berust het principe van de zogenaamde negenproef waarmee de uitkomst van een vermenigvuldiging kan worden gecontroleerd.
Stel dat we de uitkomst van 3125*216 op juistheid willen controleren. Er geldt: 3125*216=675000. We bepalen nu van 3125, 216 en 675000 de rest bij deling door 9 door in ieder van deze getallen de som van de cijfers te nemen en daarvan de rest bij deling door 9 te bepalen. Voor 3125 vinden we de som 3+1+2+5=4+7=11. Nu geldt:
11=2 mod 9, dus 3125=2 mod 9. Voor 216 vinden we de som 2+1+6=9, dus 216=0 mod 9. Voor 675000 vinden we de som 6+7+5+0+0+0=18. Voor 18 vinden we de som 1+8=9, dus
675000=0 mod 9. Nu zou moeten gelden: 3125*216=(2*0)mod 9=0 mod 9, wat juist is, want 3125*216=675000=0 mod 9.
Als we het getal 9 vervangen door een willekeurig getal m zijn beide stellingen nog steeds juist. Een andere interessante stelling is: als a=b mod m, dan geldt: a^n=b^n mod m. Dit gaan we eens bekijken aan de hand van het eerste voorbeeld. Neem het getal 3125. Dit is te schrijven als 5^5.
Nu geldt: 5=5 mod 9, dus 5^5=5^5 mod 9
=(5^2*5^3)mod 9=(7*5^3)mod 9=(7*7*5)mod 9
=(4*5)mod 9=20 mod 9=2 mod 9, hetgeen overeenkomt met wat we hebben gevonden. Merk op dat we hier gebruik maken van de tweede stelling om zo voor lagere machten van 5 de rest bij deling door 9 te bepalen.
Wil je meer informatie over andere wiskundige onderwerpen, dan kun je me bereiken via mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.

[Dit bericht is aangepast door mathfreak (01-01-2002).]

[micha]

poeh............
*ziet een hele hoop getalletjes voor zijn ogen*

[DruidessI]

DutchECK schreef:
Waarom doet 11 moeilijk?

11*9=99
9+9=18
1+8=9

Ja, die mogelijkheid schoot me te laat naar binnen

Grt,
Suzan

[DruidessI]

mathfreak schreef:

lap tekst die ik eens rustig moet doorlezen.........

Misschien dat ik je tekst niet helemaal begrepen heb, maar waarom is het alleen bij 9 dit het geval? En niet bij 3 ofzo?

Grt,
Suzan

[mathfreak]

Bij het onderzoeken van de deelbaarheid van een getal geldt onder andere dat een getal door 3 of 9 deelbaar is als de som van de cijfers ook door 3 of 9 deelbaar is.

[-DeJa-Vu]

DruidessI schreef:
Misschien dat ik je tekst niet helemaal begrepen heb, maar waarom is het alleen bij 9 dit het geval? En niet bij 3 ofzo?

Grt,
Suzan

Oh, bij 3 is het ook het geval hoor, als je naar het 4-talligstelsel kijkt:

0 1 2 3
10 11 12 13
20 21 22 23
30 31 32 33
100 101 102 103

1*3 = 3
2*3 = 3+3 = 12
3*3 = 3+3+3 = 21
10*3 = 3+3+3+3 = 30
11*3 = 3+3+3+3+3 = 33

Dus:
3 >> 3
12 >> 1+2 = 3
21 >> 2+1 = 3
30 >> 3+0 = 3
33 >> 3+3 = 12 >> 1+2 = 3

Zo kan het ook bij bv 7, vermoed ik. Als er interesse is, zal ik het ook proberen...

mvg,
Niek


[Dit bericht is aangepast door -DeJa-Vu (06-01-2002).]