hoe bewijs je dat in godsnaam?

[bulbanos]

als p,q en -i wortels zijn van de vgl z³=i
bewijs dan (zonder p en q uit te rekenen) dat p.q=-1 en p²+q²=1

---------------

Toon aan dat de vgl 4z³ - 6i.sqrt(3)z² -3(3+i.sqrt(3))z - 4 =0 een reële wortel heeft en bereken nadien ook de andere wortels

[pol]

Ik zou het zo proberen.

Je weet dat -i een wortel is, dus kun je de vergelijking schrijven als :

(z+i) * (veelterm graad2) = 0 Die veelterm kun je berekenen door z^3-i te delen door (z+i).

(na een korte berekening) :

z^3-i = (z+i) * (z^2 +i*z -1) = 0

De wortels p en q zijn nulpunten van bovenstaande vierkantsvergelijking.
We weten :

p*q = -1
p+q = -i <=> (p+q)^2 = -1 <=> p^2+q^2 = -1 - 2*q*p
(maar p*q = -1)
dus we vinden : p^2 + q^2 = 1


[Dit bericht is aangepast door pol (26-01-2002).]

[bulbanos]

pol schreef:
We weten :

p*q = -1
p+q = -i <=> (p+q)^2 = -1 <=> p^2+q^2 = -1 - 2*q*p
(maar p*q = -1)
dus we vinden : p^2 + q^2 = 1

hoe weet je dat p*q = -1
dat moet je toch bewijzen?

[pol]

Bij een vierkantsvergelijking geldt :

x^2 -S*x +P = 0

Met S de som van de wortels en P het product van de wortels.
Dus zijn p en q de oplossingen van bovenstaande vergelijking, dan geldt :

S = p+q
P = p*q

[pol]

Voor je tweede vraag. Ik weet niet of het de bedoeling is van je leraar dat je het op deze mannier bewijst, of op lost, maar hier is mogelijkheid :

a*x^3+b*x^2+c*x+d=0 met nulpunten : x1, x2, x3.

(Uit de fundamentele stelling van de algebra volgt) :

x1 +x2 +x3 = -b/a = 6*i*sqrt(3)/4
x1*x2 +x1*x3 +x2*x3 = c/a = (9+3*i*sqrt(3))/4
x1*x2*x3 = -d/a = 1

Uit de eerste vergelijking volgt dat minstens 1 van de wortels complex is.(Wil je bij een som van getallen een complex getal uitkomen, moet minstens één getal complex zijn.)

Uit de derde verglijking volgt : de wortels zijn drie reëele getallen, of 1 reël getal en 2 complexe. Vermits we boven hebben aangetoond dat minstens 1 getal complex is, rest ons enkel de laatste mogelijkheid.

Hier bij is bewezen dat we 1 reële en 2 complexe oplossingen hebben.

Met de formules van Cardano heb je meteen de drie oplossingen, maar dat is wat te veel rekenwerk. Hier is een alternatief.

Nu gaan we opzoek naar de reële wortel.
Volgens een benaderingsmethode vinden we als wortel : x1 = -1/2.
Via het schema van Horner vinden we dan :

(x+1/2) * (2*z^2 -(1-3*i*sqrt(3))*z -4)=0

Als je dan nog de vierkantsvergelijking oplost vinden we:

x2 = -1/2 +1/2 *i*sqrt(3)
x3 = 1+ i*sqrt(3)

Ik hoop dat je het een beetje snapt.(want het is niet zo eenvoudig hé).

[bulbanos]

pol schreef:
Bij een vierkantsvergelijking geldt :

x^2 -S*x +P = 0

Met S de som van de wortels en P het product van de wortels.
Dus zijn p en q de oplossingen van bovenstaande vergelijking, dan geldt :

S = p+q
P = p*q

natuurlijk! bedankt!!

maar voor oef 2 hebben we nooit de fundamentele regels gezien die je opsomt, dus kan het feitelijk niet dat we ze nodig hebben

[mathfreak]

Het is misschien interessant om op te merken dat men tegenwoordig in plaats van de uitdrukking "fundamentele stelling van de algebra" de uitdrukking "zogenaamde fundamentele stelling van de algebra" gebruikt omdat het bewijs van deze stelling niet zuiver algebraïsch kan worden gegeven, maar alleen met behulp van de complexe functietheorie. Mocht je hier meer van willen weten, dan kun je me bereiken op mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.