Rationaal-gebroken functies

[Aramo]

Voor Wiskunde B1 (5VWO) heb ik een praktische opdracht gekregen, in de vorm van een onderzoek aan een gebroken functie.

Het betreft de functie:

f(x)= (px³-x²)/((3+q)x²+q)

Waarin p = 2,75 en q = -1

Gegeven vragen:

1. a) Bepaal het domain, de nulpunten, de afgeleide functie f'(x), de maxima en minima en de asymptoten (dus indien aanwezig de horizontale, verticale en schuine).

1. b) Onderzoek of de grafiek een of meer buigpunten heeft. Gebruik daarvoor de tweede afgeleide f"(x) of de grafiek van de eerste afgeleide f'(x).

2a. Neem voor p de in het kader gegeven waarde en laat q variabel. Noteer het functievoorschrift.

a1) Er zijn twee waarden van q waarvoor de grafiek geen asymptoten heeft. Bepaal in beide gevallen het functievoorschrift van f(x) en teken de bijbehorende grafieken.

a2) Voor welke waarden van q heeft de grafiek drie asymptoten?

2b. Neem voor q de in het kader gegeven waarde (dat is dus -1) en laat p variabel. Noteer het functievoorschrift.

b1) Er zijn ook nu diverse mogelijkheden wat de asymptoten betreft. Onderzoek welke mogelijkheden en bepaal de daarbij behorende waarden van p.

---------------------

Nou, ik heb zelf de eerste afgeleide berekend, namelijk: f'(x)=((8,25x²-x².2x²-1)-(2,75x³-x².4x))/(2x²-1)²

Ik hoop dat 'ie zo goed is.

Volgens mij is er geen horizontale asymptoot? De verticale asymptoot heb ik berekend door de noemer gelijk aan 0 te stellen: 2x²-1=0 --> x=wortel(1/2)

Met de schuine asymptoot heb ik wat meer moeite (werd geadviseerd de staartdeling te gebruiken...)

In any case, als iemand met verstand van wiskunde enige vrije tijd heeft om (een deel van) de vragen te beantwoorden, dan zou ik dat ten zeerste appreciëren!

Merci.

[Dit bericht is aangepast door Aramo (24-02-2002).]

[Dit bericht is aangepast door Aramo (24-02-2002).]

[mathfreak]

Om de horizontale asymptoot te bepalen moet je teller en noemer delen door de hoogste macht van x. Vervolgens bepaal je de limiet als x naar plus of min oneindig gaat. Als deze limiet de waarde a heeft is de lijn y=a een horizontale asymptoot van de grafiek.
Om de scheve asymptoot te bepalen kun je inderdaad een staartdeling toepassen. Je krijgt dan een uitdrukking van de vorm f(x)=ax+b + g(x), waarbij g(x) een eerstegraads gebroken functie voorstelt waarvan de limiet als x naar plus of min oneindig gaat de waarde nul heeft. In dat geval stelt de lijn y=ax+b de scheve asymptoot voor die je zoekt.

[Dit bericht is aangepast door mathfreak (24-02-2002).]

handig zo'n grafische rekenmachine