wisk: opgave

[liner]

Gegeven is een kwartcirkel met middelpunt M en hoekpunten A en B. Aan deze kwartcirkel wordt in een punt R een raaklijn getrokken. De projecties van A en B op deze raaklijn noemen we A' respectievelijk B'. Als gegeven is dat AA' = 1 en BB' = 2, hoe groot is dan de straal van de cirkel?

ik had..na wat rekenwerk r=5

[Kussentje]

Hey, deze stond in de nieuwe Pythagoras!!
Ben ik ook lid van, alleen ik kon er niet echt uitkomen... Ik zag het gewoon niet. Vertel hoe kwam je aan 5?

Greetz!

[liner]

Kussentje schreef op 19-04-2004 @ 20:08 :
Hey, deze stond in de nieuwe Pythagoras!!
Ben ik ook lid van, alleen ik kon er niet echt uitkomen... Ik zag het gewoon niet. Vertel hoe kwam je aan 5?

Greetz!

hiohoi,,
ik ben er geen lid van.......
het zal je een beetje concentratie kosten. een blaadje en een pen zijn aanbeloven..
stel: O het snijpunt van (MA) en (A'B') en P het snijpunt van (MB) en (A'B').
A' is de projectie van A en dus (AA')//(MR) en hoek AA'O =90
er geldt OA/OM=AA'/MR = OA'/OR
OA/(OA+r)=1/r (MA=MR=r)
dus r*OA=OA+r en daaruit OA=r/(r-1)
OA'^2=OA^2-AA'^2=(r/(r-1))^2-1^2=(2r-1)/(r-1)^2
dus OA'=wortel(2r-1)/(r-1)
op dezelfde manier is:
(BB')//(MR) en hoekBB'O=90 en PB/(PB+r)=BB'/MR =2/r
uiteindelijk PB=2r/(r-2)
PB'^2=PB^2-BB'^2=(2r/(r-2))^2-4 dus
(4r^2-4(r^2-4r+4))/(r-2)^2 (noemers gelijk maken)
dus PB'^2=16(r-1)/(r-2) >> PB'=4wortel(r-1)/(r-2)

en nu ff met hoeken.
ik laat je bewijzen dat hoekBPB'=hoekOAA' (a)
( denk bijv. aan : PBB'=PMR en PMR+BPB'=90)
uit (a) geldt tanBPB'=tanOAA'
dus BB'/B'P=OA'/AA' dus 2/(4wortel(r-1)/(r-2))= wortel(2r-1)/(r-1)
hieruit volgt 2(r-2)/(4wortel(r-1)) =wortel(2r-1)/(r-1)
dus r-2= 2wortel(2r-1)/wortel(r-1)
** waarom?! links had je wortel(r-1) en rechts (r-1)
delen door wortel(r-1) geeft links 1 en rechts wortel(r-1)**
met kwadraten en vermunigvuldien krijg je een vergelijking van de 3e graad. met 0 en 5 als oplossingen..en dus r=5 ( concluderend uit de wortels.want r>0

[liner]

bij opgave 106 is et nog moeilijker...
ik ben nog bezig met die vraag..
..heb je enige idee hoet dat moet?