Combinatieleer

[wmostrey]

Ik vroeg me af hoe ik volgende opdrachten kan berekenen, waar er voorwaarden gesteld worden aan de elementen-reeksen:

1/ Op hoeveel manieren kunnen 7 meisjes en 2 jongens naast elkaar plaatsnemen als tussen de 2 jongens juist 3 meisjes moeten zitten?

2/ Op hoeveel manieren kan men de 9 letters a, b, c, d, e, f, x, y en z rangschikken zodat y steeds tussen x en z gelegen is (x en y of y en z moeten niet noodzakelijk buren zijn).

Het antwoord op vraag 2 heb ik reeds gevonden op http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=16293. Er moet dus bovenop de kansberekening zelf een logica worden toegepast. Welke logica moet ik op 1/ toepassen om de oplossing te vinden? Ik heb hier alvast een tip gevonden, maar ik raak zelf niet aan het antwoord: http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=19353.

[WelVrolijk]

Stel dat jongen A op stoel 2 gaat zitten.
Dan moet jongen B op stoel 5 gaan zitten.
Op hoeveel manieren kunnen de 5 meisjes op de 5 overige stoelen gaan zitten?

Stel dat jongen A op stoel 4 gaat zitten,
welke keuzes heeft jongen B dan?
En op hoeveel manieren kunnen de 5 meisjes op de 5 overige stoelen gaan zitten?

[wmostrey]

Bedankt. Er zijn in totaal dus 5 mogelijkheden:

j m m m j m m m m
m j m m m j m m m
m m j m m m j m m
m m m j m m m j m
m m m m j m m m j

Dat komt overeen met 5 * 2! * 7! = 50400 manieren.

Een andere vraag: Op hoeveel manieren kunnen 15 leerlingen worden ingedeeld in 2 groepen van 7 en 8 leerlingen? Het antwoord is 6435 maar ik heb geen idee hoe daar te geraken..

[WelVrolijk]

Laten we eens kijken, op hoeveel manieren we die groep van 7 kunnen uitkiezen.

Voor de eerste heb je 15 mogelijkheden.
Voor de eerste 2 heb je 15*14 mogelijkheden.
...
Voor de eerste 7 heb je ?? mogelijkheden.

Maar de volgorde waarin je die 7 hebt gekozen is niet belangrijk.
Daar moet je dus nog door delen.
Het aantal mogelijke volgordes is ???

In totaal zijn er dus ?? / ??? mogelijkheden.

------------

Zie ook: Combinaties en Permutaties.

[wmostrey]

Idd, het is een Combinatie van 7 over 15 > 15! / 7!8! = 6435, bedankt!

Nog een vraagje over de kanswetten. (U = unie, D = doorsnede, N = negatief dus NA = Negatief A = 1 - A)

Ik heb volgende gegevens:

P(A D B) = 1/4
P(A U B) = 5/8
P(A \ B) = 1/8

1. P(A) bereken ik door P(A \ B) + P(A D B) = 1/8 + 1/4 = 3/8
2. P(B) bereken ik door P(A U B) - P(A) + P(A D B) = 1/2
3. P(NA) = 1 - 3/8 = 5/8
4. P(NB) = 1 - 1/2 = 1/2

Ik heb een hierbij: Er wordt gevraagd P(B \ A) te berekenen vanuit de gegeven en berekende informatie. Hoe doe ik dat?

Ook: hoe bereken ik P(NA D B)? Is dit P(NA) x P(B)?

[Little James]

P{B\A) = P(AUB) - P(A) = 5/8 - 3/8 = 2/8=1/4
P(NA D B) = P(B\A) = 1/4

P(NA D B) = P(B\A), want
stel x element van B\A dan x in B en x niet in A, ofwel, x is een element van NA D B. (en andersom geldt dit ook).