[WI] Permutaties en combinaties

[Moncpier]

Hoi allemaal,

Ik ben een aantal opgaven uit mijn boek aan het maken, ik heb er een paar gemaakt, maar het komt niet overeen met het antwoordenboekje, ik snap niet wat ik fout heb gedaan. En ik heb morgen een toets

4) In deze opgave maak je getallen van 5 cijfers. Daarbij mag je alleen gebruik maken van de cijfers 2,4,5,6 en 8

a. Elk cijfer vaker mag gebruiken en het getal groter is dan 46000
( Het is toch gewoon: 5x3x7x7x7)
b. Elk cijfer één keer mag gebruiken en het getal kleiner is dan 64000
( Het is toch gewoon 4x6x5x4x3)
c. Elk cijfer vaker mag gebruiken en het getal precies twee vijven bevat die naast elkaar staan.

[Starbucks-]

Bij a: 5x2(6 en 8!)x5x5x5 (je kunt alleen kiezen uit 2,4,5,6 en 8)

b: Deze is simpel: Je weet dat je 6 en 8 niet mag gebruiken (dus er blijven nog maar 3 mogelijkheden over voor het eerste cijfer: namelijk 2,4 en 5). Dan de overige 4 cijfers, waarvan het tweede cijfer kleiner moet zijn dan 4 (dus je mag alleen kiezen uit 2). 3x1x5x4x3

c: deze is wat pittig en kan ik ook fout doen, dus hulp van een medeleerling is gewenst(?) :

Die twee vijven naast elkaar kan op drie manieren passen in het getal met 5 cijfers, dus je telt de mogelijkheden bij elkaar op denk ik

[Padzorz]

Laten we beginnen met c. We moeten getallen maken van 5 cijfers dus die getallen zien eruit als:
X X X X X (met X kan 2,4,5,6 of 8 zijn)
Elk cijfer mag in dit laatste geval vaker voorkomen, maar twee vijven moeten naast elkaar staan. De twee vijven kunnen op 4 verschillende manieren naast elkaar staan, nl.
55XXX
X55XX
XX55X
XXX55

Nu elke andere X die in elk van de 4 mogelijkheden voorkomt kan telkens 5 mogelijkheden aannemen (nl. 2,4,5,6 en 8) en dus eigenlijk geeft dat telkens een herhalingsvariatie van 3 elementen uit 5 genomen zodus krijgen we per geval 5^3 mogelijkheden en dus in totaal 4.5^3 = 500 mogelijkheden.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

In geval a. zit het iets complexer in elkaar, want er is een extra voorwaarde opgelegd, nl.
het getal moet groter zijn dan 46000. We kunnen dus verschillende mogelijkheden onderscheiden.

1) Stel dat het eerste getal een 5,6 of een 8 is. In dit geval maakt het niet uit wat de andere 4 getallen zijn.We krijgen dus telkens 5^4 mogelijkheden en dus in totaal 3.5^4 = 1875 mogelijkheden.

2) Stel dat het eerste getal wel een 4 is.In dit geval moeten we nog enkele subgevallen maken:
2.a) Stel dat het 2de getal een 8 is.
In dit geval kunnen enkel de drie laatste nog varieren (telkens 5 mogelijkheden) dus 5^3=125 mogelijkheden.
2.b) Stel dat het 2de getal een 6 is.
Ook hier kunnen de laatste 3 getallen weer volop varieren, maar als we zouden zeggen dat er 5^3 mogelijkheden zijn dan zit de mogelijkheid dat de laatste drie getallen 0 0 0 zijn ook erin, wat niet mag, want het getal moest strik groter zijn zodus zijn er 5^3-1 mogelijkheden.

Wat concludeer je dus?

-----------------------------------

Doe iets gelijkaardig voor b).