v`(t) = a*e^b*v(t)

[Tampert]

hoe los ik deze differentiaalvergelijking op

dus v`(t) = a*e^b*v(t)

[pol]

Er staat toch v'(t) = dv/dt he?

Dus dv/dt = a*exp(b*v)

<=> dv * exp(-b*v) = a*dt

(primitiveren)

<=> -1/b * exp(-b*v) = a*t + Cte

(oplossen naar v)

<=> -b*v = ln(-b*(a*t+Cte))

<=> v(t) = -1/b ln(-b*(a*t+Cte))

Waarbij Cte een arbitraire constante is, te bepalen uit de beginvoorwaarde.

[Tampert]

aah... stom. dat had ik wel moeten zien... en dan nu devolgende vraag

en deze v(t) is de afgeleide van x naar t. Kun je een ln-functie van deze aard verder integreren?

(mijn integraalkennis is niet helemaal in orde meer vrees ik)
v(t) = -1/b ln(-b*(a*t+Cte))

[pol]

Voer de substitutie door :

u = -b*(a*t+C1)

<=> du = -b*a *dt

Dus : we zoeken primitieve van :

1/(a*b^2) * ln(u)

De primitieve wordt dus :

u * ln(u) - u + C2

Vul u in en voila.

Ik ken de primitieve van ln(u) vanbuiten, maar als je die niet kent, vind je hem makkelijk door partiële integratie :

int(ln(u),du) = u * ln(u) - int(u/u,du)
= u*ln(u) - u