integralen

[azitoga]

kan iemand de integraal berekenen van de vierkantswortel uit (9-x^2) over het interval [-3,3] ??

integraal van -3 tot 3 van sqrt(9-x^2) dus

[azitoga]

met het programma met mijn computer kom ik
9.pi / 2 uit

maar hoe reken je dit uit zonder grafisch rekentoestel of computerprogramma??

nou in stappen.

1. primitieve van wortel uit (9-x^2) berekenen.
2. daarin 3 invullen voor x (antwoord A)
3. daarin -3 invullen voor x (antwoord B)
4. A-B = het antwoord!!

alleen weet ik niet hoe je die primitieve moet berekenen

[azitoga]

tot hiertoe begrijp ik het nu al

iemand kandidaat om die primitieve functie te zoeken??

ik zie het echt niet

[Midgard]

als je het makkelijk wilt doen:

dit is een halve cirkel met straal 3

dus: 1/2 * pi * r² = 1/2 * pi * 9 = 9*pi/2

als je het (iets ) moeilijker wilt doen, dan met integreren

komt misschien zo nog wel

[azitoga]

ja maar, die methode had ik ook al gevonden

maar het was net de 'uitdaging' om het met integreren te kunnen oplossen...
(tja, mijn leraar is niet echt normaal, ik vind het absoluut geen uitdaging, ik heb wel leukere dingen te doen dan 2 uur op dezelfde oefening te staren, daarmee dat ik hier ook mijn vraag lanceerde)

[Midgard]

azitoga schreef:
ja maar, die methode had ik ook al gevonden

maar het was net de 'uitdaging' om het met integreren te kunnen oplossen...
(tja, mijn leraar is niet echt normaal, ik vind het absoluut geen uitdaging, ik heb wel leukere dingen te doen dan 2 uur op dezelfde oefening te staren, daarmee dat ik hier ook mijn vraag lanceerde)

kun je partieel integreren en ken je de arcsinus ?

[azitoga]

ik zou niet weten wat partieel integreren is,
misschien kan ik dat wel, maar ken ik de naam niet
arcsin ken ik wel

[Midgard]

azitoga schreef:
ik zou niet weten wat partieel integreren is,
misschien kan ik dat wel, maar ken ik de naam niet
arcsin ken ik wel

'tis eigenlijk de kettingregel herformuleren:

[azitoga]

wat neem je in deze opgave dan als f(x) en g(x) ??

[mathfreak]

azitoga schreef:
wat neem je in deze opgave dan als f(x) en g(x) ??

Het makkelijkste is om f(x)=x en g(x)=sqrt(9-x²) te kiezen. De gevraagde integraal is dan gelijk aan x*sqrt(9-x²) min de integraal van
-x²/sqrt(9-x²). Stel -x²/sqrt(9-x²)=h(x)*k'(x) met h(x)=-x² en k'(x)=1/sqrt(9-x²) en maak gebruik van het gegeven dat arcsin(x/a) als afgeleide de waarde 1/sqrt(a² -x²) heeft.

[Midgard]

mathfreak schreef:
Het makkelijkste is om f(x)=x en g(x)=sqrt(9-x²) te kiezen. De gevraagde integraal is dan gelijk aan x*sqrt(9-x²) min de integraal van
-1/2*x²/sqrt(9-x²). Stel -1/2*x²/sqrt(9-x²)=h(x)*k'(x) met h(x)=1/2*x² en k'(x)=1/sqrt(9-x²) en maak gebruik van het gegeven dat arcsin(x/a) als afgeleide de waarde 1/sqrt(a² -x²) heeft.

je moet toch 3 of 4 x partieel integreren om het op te lossen

ps. als je antwoord aub overzichtelijk typen, dit stukje hierboven wordt al onoverzichtelijk omdat je alles achter elkaar doortypt

[mathfreak]

Midgard schreef:
je moet toch 3 of 4 x partieel integreren om het op te lossen

ps. als je antwoord aub overzichtelijk typen, dit stukje hierboven wordt al onoverzichtelijk omdat je alles achter elkaar doortypt

Als je de substitutie x=3*cos(t) toepast hoef je volgens mij niet zo vaak partieel te integreren. Wel moeten de integratiegrenzen dan nog worden aangepast.
Ik heb mijn vorige reply nog even doorgelezen. Doordat je hem als quote toepaste werd de tekst enigszins verschoven waardoor het geheel als zodanig een onoverzichtelijke indruk maakte, maar mijn vorige reply was voor zover ik het kon beoordelen vrij overzichtelijk.

@azitoga: wellicht is het een goed idee om de substitutie die ik hier voorstel toe te passen en zo de ontstane integraal uit te werken.

[Midgard]

mathfreak schreef:
Als je de substitutie x=3*cos(t) toepast hoef je volgens mij niet zo vaak partieel te integreren. Wel moeten de integratiegrenzen dan nog worden aangepast.
Ik heb mijn vorige reply nog even doorgelezen. Doordat je hem als quote toepaste werd de tekst enigszins verschoven waardoor het geheel als zodanig een onoverzichtelijke indruk maakte, maar mijn vorige reply was voor zover ik het kon beoordelen vrij overzichtelijk.

@azitoga: wellicht is het een goed idee om de substitutie die ik hier voorstel toe te passen en zo de ontstane integraal uit te werken.

zodra je meerdere uitspraken/feiten op één regel gaat zetten, wordt het voor iemand die het niet zelf getypt heeft onoverzichtelijk

dat is hetzelfde principe als dat je op een goede sheet nooit meer dan 6 of 7 regels moet zetten

in je reply zit trouwens ook een klein foutje, want die factor 1/2 die hoort er niet

[mathfreak]

Midgard schreef:
zodra je meerdere uitspraken/feiten op één regel gaat zetten, wordt het voor iemand die het niet zelf getypt heeft onoverzichtelijk

dat is hetzelfde principe als dat je op een goede sheet nooit meer dan 6 of 7 regels moet zetten

in je reply zit trouwens ook een klein foutje, want die factor 1/2 die hoort er niet

Het hoeft in ieder geval niet onoverzichtelijk te zijn voor degene die het getypt heeft, maar ik stel voor dat we dat verder laten rusten. Je had inderdaad gelijk wat die factor 1/2 betreft. Ik heb het inmiddels al gecorrigeerd.

[Imperans]

MOet je niet gewoon die integraal opschrijven als: (9-x^2)^0.5
Een wortel ergens van is immers hetzelfde als iets tot de halve macht. Dan moet je er wel uitkomen toch?

Blij dat ik ervan af ben

[Tampert]

Imperans schreef:
MOet je niet gewoon die integraal opschrijven als: (9-x^2)^0.5
Een wortel ergens van is immers hetzelfde als iets tot de halve macht. Dan moet je er wel uitkomen toch?

Blij dat ik ervan af ben

met kettingregel en die notatie is het indd vrij simpel...?

[Midgard]

Tampert schreef:
met kettingregel en die notatie is het indd vrij simpel...?

dat vrij simpel kun je wel vergeten;

de primitieve moet worden:

1/2 * sqrt(9-x²) + 9/2 * arcsin(x/3)

[bulbanos]

dat is wat ik uitkom voor die integraal

4W(9-x²)

A=9-x²
y=4WA

A^1/4--->4/5A^{1 1/4}
.
9x-1/3x³
=
4/5.(9-x²)^{1 1/4}.(9x-1/3x³)
Zoiets? Ik heb nog geen zoveelste machtwortelintegralen gehad

[pol]

Waarom het zo moeilijk maken.

De functie sqrt(9-x^2) is een halve cirkelboog in het bovenste halfvlak, met straal 3.

Dus oppervlakte halve cirkel = 9/2 * Pi

[mathfreak]

darkshooter schreef:
4W(9-x²)

A=9-x²
y=4WA

A^1/4--->4/5A^{1 1/4}
.
9x-1/3x³
=
4/5.(9-x²)^{1 1/4}.(9x-1/3x³)
Zoiets? Ik heb nog geen zoveelste machtwortelintegralen gehad

Om de gevraagde functie te integreren heb je kennis nodig van de arcsinusfunctie en de methode van partieel integreren, 2 onderwerpen die inmiddels uit het v.w.o.-programma voor wiskunde B zijn geschrapt.

@pol: Je hebt gelijk dat je dit probleem heel eenvoudig kunt opvatten als het berekenen van de oppervlakte van een halve cirkel met straal 3, maar het ging er juist om om met behulp van de integraalrekening de juiste waarde hiervoor af te leiden.

[bulbanos]

mathfreak schreef:
Om de gevraagde functie te integreren heb je kennis nodig van de arcsinusfunctie en de methode van partieel integreren, 2 onderwerpen die inmiddels uit het v.w.o.-programma voor wiskunde B zijn geschrapt.

ik heb die twee gebruikt, in België krijgen we dat wel...
kan jezelf het eens berekenen om te controleren?

[mathfreak]

bulbanos schreef:
ik heb die twee gebruikt, in België krijgen we dat wel...
kan jezelf het eens berekenen om te controleren?

Ik heb hem even opgezocht in mijn CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. De functie f: x->sqrt(a²-x²) heeft
F: x->1/2(x*sqrt(a²-x²)+a²*arcsin(x/a)) als primitieve, dus voor a=3 en de grenzen x=-3 en x=3 krijgen we: 4 1/2*arcsin(1)-4 1/2*arcsin(-1)
=4 1/2*arcsin(1)-(-4 1/2*arcsin(1))=2*4 1/2*arcsin(1)=9*arcsin(1)=9*1/2*pi=4 1/2*pi, wat inderdaad de oppervlakte van een halve cirkel met straal 3 voorstelt, zoals al is vermeld. Merk op dat er geen factoren x*sqrt(9-x²) in de berekening voorkomen, aangezien sqrt(9-x²) voor x=-3 en x=3 de waarde nul heeft.

lang leve Maple

Thyrfi

[azitoga]

hartelijk bedankt voor al jullie hulp !!!
nu begrijp ik er tenminste al iets van...

hmm vage wiskunde leraar heb jij op het vwo zeg...
zoals eerder gezegd; deze stof (met partieel integreren enzo) hoort niet meer bij de vwo-stof tegenwoordig. dat wordt behandeld in het eerste jaar van veel technische opleidingen (zo ook bij mij)

@mathfreak: jouw oplossing klopt inderdaad (duh )

Ik heb geen id hoe een vwo-leerling dit zou moeten oplossen, ik zou het niet gekund hebben. maar volgend jaar ben je er erg blij mee als je zo'n opleiding ga volgen tenminste

greetz, FoX

[mathfreak]

*FoX* schreef:
hmm vage wiskunde leraar heb jij op het vwo zeg...

azitoga is een Vlaamse leerlinge. Het is inderdaad zo dat partieel integreren vroeger deel uitmaakte van de v.w.o.-stof voor wiskunde B, maar dat dat onderdeel inmiddels is geschrapt. In België maakt het onderdeel uit van de stof voor de hogere cyclus van het middelbaar onderwijs, te vergelijken met de bovenbouw van het v.w.o. hier in Nederland.

oops foutje
niet op gelet, dan is de leraar weer goed bezig door een probleem voor te leggen wat misschien enigszins moeilijker is dan de standaard oplossingen met bijvoorbeeld partieel integreren, met zo'n tabel als jij hebt mathfreak (en ik heb ook zoiets, maar dan zelf uit een boek samengevat) wordt het allemaal een stuk eenvoudiger

greetz, FoX