Parameter functies

[Vinni]

Weet iemand toevallig een site waar ik wat extra uitleg over Parameter kromme's kan vinden ??? Ik heb vrijdag namelijk tentame onderander over dit onderwerp.

[mif]

Geef maar een opgave, misschien iemand hier je helpen.

------------------
'You have to have respect for someone who can spell February, even if he spells it wrong.' -Rabbit

[Vinni]

K (x,y)=(2cost-cos2t, 2sint-sin2t)
A) teken deze kromme
B) laat zien dat het punt 1,0 een keerpunt is
c) Bewijs de symmetrie-as van K

d) wat zijn de asymtoten van (x,y)=(t-1, 2t+1/t)

Zou iemand me deze dingen kunnen uitleggen, pleaze. vooral B en D heb ik moeite mee

[Dit bericht is aangepast door Vinni (21-02-2001).]

[mathfreak]

Hallo, Vinni,

Je vroeg om uitleg wat betreft onderdeel B (toon aan dat (1,0) een keerpunt is van de kromme met parametervoorstelling K1 (x,y)=(2cos(t)-cos(2t), 2sin(t)-sin(2t)) en onderdeel D (bepaal de asymptoten van de kromme K2 (x,y)=(t-1, 2t+1/t)).

Onderdeel B gaat als volgt: een keerpunt van een kromme is een punt waar de kromme zichzelf snijdt. Dat betekent dat er 2 waarden voor t zijn (zeg t1 en t2) zodat geldt: (x(t1),y(t1))=(x(t2),y(t2)).
Omdat (1,0) een keerpunt is moet gelden:
2cos(t)-cos(2t)=1 en 2sin(t)-sin(2t)=0. De tweede vergelijking is te schrijven als
2sin(t)-2sin(t)*cos(t)=0,
ofwel 2sin(t)(1-cos(t))=0,
dit geeft 2sin(t)=0 of 1-cos(t)=0
dus sin(t)=0 of cos(t)=1
sin(t)=0 geeft t=0 of t=pi of t=2*pi
cos(t)=1 geeft t=0 of t=2*pi
t=0 geeft 2cos(0)-cos(2*0)=2*1-cos(0)=2-1=1 en 2sin(0)-sin(2*0)=2*0-sin(0)=0-0=0
t=pi geeft 2cos(pi)-cos(2*pi)=-2-1=-3, wat dus al een ander punt geeft als (1,0).
t=2*pi geeft 2cos(2*pi)-cos(4*pi)=2-1=1
en 2sin(2*pi)-sin(4*pi)=0-0=0.
Omdat t=0 en t=2*pi hetzelfde punt op K1 opleveren is dit punt een dubbelpunt.

Om de asymptoten van K2 te bepalen moet je kijken welke waarde t niet kan aannemen en wat er gebeurt als t naar plus of min oneindig gaat. Er geldt:
(x,y)=(t-1, 2t+1/t)). Omdat t de waarde 0 niet aan mag nemen is x=-1 een verticale asymptoot van K2. Omdat x en y geen eindige waarden aannemen als als t naar plus of min oneindig gaat heeft K2 verder geen asymptoten.