[WI] Werken met een parameter

[- DeJa - Vu -]

Hallo,

Het boek dat ik gebruik:
Pascal, Wiskunde voor de tweede fase
VWO informatieboek NG&NT-2
Dit probleem staat op bladzijde 57


Gegeven is de familie vn functies:


Is er een grafiek van die de lijn met de vergelijking raakt?





Zodoende krijg je dus de vergelijking:

of als je met de afgeleiden wilt werken:


Als aanzet is gegeven dat deze vergelijkingen geen oplossingen hebben, maar daar kom ik niet! Bijvoorbeeld met de discriminant bij de 2e krijg ik:
a = 2
b = 2p
c = -1



Waaruit volgt dat altijd D > 0, dus 2 oplossingen heeft.


Wat doe ik verkeerd?

[- DeJa - Vu -]

Offtopic: Hmm ik kan de topictitel niet meer aanpassen... kan iemand er WI voor zetten?



edit:
Haha ik zie nu dat die D er niks mee te maken heeft... Daarmee heb ik alleen maar bewezen dat de afgeleide 2 snijpijnten met de x-as heeft, maar dat had ik ook wel kunnen bedenken.

[mathfreak]

- DeJa - Vu - schreef:

Hallo,

Het boek dat ik gebruik:
Pascal, Wiskunde voor de tweede fase
VWO informatieboek NG&NT-2
Dit probleem staat op bladzijde 57


Gegeven is de familie vn functies:


Is er een grafiek van die de lijn met de vergelijking raakt?





Zodoende krijg je dus de vergelijking:

of als je met de afgeleiden wilt werken:


Als aanzet is gegeven dat deze vergelijkingen geen oplossingen hebben, maar daar kom ik niet! Bijvoorbeeld met de discriminant bij de 2e krijg ik:
a = 2
b = 2p
c = -1



Waaruit volgt dat altijd D > 0, dus 2 oplossingen heeft.


Wat doe ik verkeerd?

Als de grafieken van f_p en g elkaar moeten raken, moet aan beide voorwaarden f_p(x)=g(x) en f'_p(x)=g'(x) voldaan zijn, dus er moet gelden: x³-p*x²+9*x=10*x en 3*x²-2*p*x+9=10, dus x³-p*x²-x=0 en 3*x²-2*p*x-1=0. Uit x³-p*x²-x=0 volgt: x(x²-p*x-1)=0, dus x=0 of x²-p*x-1=0. Invullen van x=0 in 3*x²-2*p*x-1=0 geeft: -1=0, dus de mogelijkheid x=0 vervalt. Er moet dus blijkbaar worden voldaan aan x²-p*x-1=0 en 3*x²-2*p*x-1=0, dus er moet blijkbaar gelden: x²-p*x-1=3*x²-2*p*x-1, dus 2*x²-p*x=0, dus x(2*x-p)=0, dus x=0 of 2*x=p, dus x=0 of x=1/2*p. Invullen van x=1/2*p in x²-p*x-1=0 geeft dan: 1/4*p²-1/2*p²-1=0, dus -1/4*p²-1=0, dus p²=-4. Er is dus blijkbaar geen reële waarde voor p te vinden waarvoor de grafieken van f_p en g elkaar raken.

[- DeJa - Vu -]

Wowww....

Bedankt! Ik snap het redelijk, op 1 ding na...

Waarom moet f(x) = g(x) en f'(x) = g'(x) beide gelden? Is dat de definitie van 'raken'? als je op een bepaald punt dezelfde hellingshoek hebt?

- DeJa - Vu - schreef:

Wowww....

Bedankt! Ik snap het redelijk, op 1 ding na...

Waarom moet f(x) = g(x) en f'(x) = g'(x) beide gelden? Is dat de definitie van 'raken'? als je op een bepaald punt dezelfde hellingshoek hebt?

Dat is inderdaad de definitie. Als f(x) = g(x), maar niet f'(x) = g'(x) spreek je van snijden.

[flyaway]

Waar je misschien ook mee vastloopt: de afgeleide van x^3 is niet 2x^2 maar 3x^2.

[mathfreak]

- DeJa - Vu - schreef:

Wowww....

Bedankt! Ik snap het redelijk, op 1 ding na...

Waarom moet f(x) = g(x) en f'(x) = g'(x) beide gelden? Is dat de definitie van 'raken'? als je op een bepaald punt dezelfde hellingshoek hebt?

Formeel is de afgeleide van f in een punt gedefinieerd als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt. Als de grafieken van f en g elkaar raken betekent dat niet alleen dat ze dan een gemeenschappelijk punt hebben, maar dat de raaklijn aan de grafiek van f in dat punt dezelfde richtingscoëfficiënt heeft als de raaklijn aan de grafiek van g in dat punt, vandaar dat voor het raken van de grafieken van f en g aan beide voorwaarden f(x)=g(x) en f'(x)=g'(x) moet worden voldaan.
Zoals flyaway al opmerkte heeft x³ de afgeleide 3*x², aangezien de afgeleide van xⁿ gelijk is aan n*x^n-1.