kettingfuncties

[veertju]

ik snap nix van die dingen
kan iemand t uitleggen of n goeie site geven?

[wyner]

Bedoel je dingen als:
f(x) = g[h(x)], waarvan de afgeleide
f'(x) = g'[h(x)]h'(x) is?

Kijk of een bepaalde (complex-uitziende) functie "binnen" zich nog een (simpelere) functie bevat... afgeleide vinden ervan betekent dat je eerst de "buitenste" functie afleidt, en dat nog vermenigvuldigt met de afgeleide van de "binnenste" functie.

Voorbeeld:
f(x) = sin (x)^2
Buitenste functie is de sinus in 't kwadraat: g[h]^2, binnenste is de sinus zelf (h = sin x). Afleiden is dus eerst afgeleide nemen van de kwadraat-term, en dat vermenigvuldigen met de afgeleide van de sinusterm.
f'(x) = 2 sin(x) cos(x).

Ander voorbeeld:
f(x) = ln (x^2)
Afgeleide van ln (x^2) = 1/(x^2), afgeleide van x^2 = 2x;
f'(x) = (1/x^2) 2x = 2x/x^2 = 2/x.

[mathfreak]

wyner schreef:
Bedoel je dingen als:
f(x) = g[h(x)], waarvan de afgeleide
f'(x) = g'[h(x)]h'(x) is?

Kijk of een bepaalde (complex-uitziende) functie "binnen" zich nog een (simpelere) functie bevat... afgeleide vinden ervan betekent dat je eerst de "buitenste" functie afleidt, en dat nog vermenigvuldigt met de afgeleide van de "binnenste" functie.

Voorbeeld:
f(x) = sin (x)^2
Buitenste functie is de sinus in 't kwadraat: g[h]^2, binnenste is de sinus zelf (h = sin x). Afleiden is dus eerst afgeleide nemen van de kwadraat-term, en dat vermenigvuldigen met de afgeleide van de sinusterm.
f'(x) = 2 sin(x) cos(x).

Er zit een onduidelijkheid in je functievoorschrift. Wat jij bedoelt weer te geven is de functie f: x->(sin (x))^2, maar jouw notatie zou aanleiding kunnen geven tot de conclusie dat je de functie f: x->sin(x^2) wilt differentiëren. Je formule voor de afgeleide van f: x->(sin (x))^2 is wel correct.
Laten we voor de aardigheid ook de functie f: x->sin(x^2) maar eens differentiëren. We kunnen hiervoor schrijven: f(x)=g(h(x)) met g(x)=sin(x) en
h(x)=x^2. Toepassen van de kettingregel levert:
f'(x)=g'(h(x))*h'(x)=cos(x^2)*2x=2x*cos(x^2)



[Dit bericht is aangepast door mathfreak (13-02-2002).]

[veertju]

nou snap ik r helemaal nix meer van

[[Pierewiet]]

Het betreft samengestelde functies in bovengenoemde voorbeelden. Je diff. eerst de een en daarna de andere.
Voorbeeld:
u(x) = sqrt(x^2-1) sqrt=wortel
Deze samengestelde functie is dus opgebouwd uit f(x) = sqrt x en g(x) = (x^2 -1)
Dus:
u(x) = f(g(x)) = sqrt(g(x)) = sqrt(x^2 -1)
Noem g(x) even voor het gemak y, dus
y = (x^2 -1) zodat we u(x) als een elementaire functie u(x) = sqrt y kunnen schrijven.

Voor de u = sqrt (x^2 -1), met y = (x^2 -1) en u = sqrt y geldt dus:

du/dx = (du/dy).(dy/du)= {1/(2sqrty)}.2x =
[1/{2sqrt(x^2 - 1)}].2x = x/sqrt(x^2 -1)

Vrij vertaald: je diff. eerst de wortel en daarna het zooitje onder de wortel.

Ander voorbeeld:

u(x) = (x^3 +1)^3 u = y^3 en y = (x^3 +1)

(du/dx) = (du/dy).(dy/dx) = (3y^2).3x^2 =
3(x^3 +1).3x^2 = 9x^2(x^3 + 1)^2

Nog ingewikkelder:

u(x) = sin^10(3x) u = y^10 y = sin(z) en
z = 3x

(du/dx) = (du/dy).(dy/dz).(dz/dx) =
10y^9.(cosz).3 = 30{sin^9(3x)}.cos(3x)

produkt en kettingregel samen:

u(x) = x.{sqrt(1 - 2x)}

du/dx = 1.sqrt(1-2x) + x.(sqrt1-2x) =sqrt(1-2x) + x.[{1/2.sqrt91-2x)}.(-2)] = {sqrt(1-2x)}-{x/sqrt(1-2x)} = (1-3x)/{sqrt(1-2x)}

Maak hier een kopie van, zet hem in Word of zo en schrijf overal voor sqrt een wortel en voor ^2 tot de macht twee enz. enz. Misschien wordt het je dan na wat napluizen het een en het ander duidelijker.
Groetjes,

P.

[mathfreak]

veertju schreef:
nou snap ik r helemaal nix meer van

Laten we om te beginnen maar eens kijken hoe het samenstellen van functies in zijn werk gaat. Neem als voorbeeld maar eens de functie f: x->(x+1)^2. Om voor een gegeven waarde van x f(x) te berekenen moet je het volgende doen: eerst bereken je x+1 en vervolgens bereken je daar het kwadraat van. We hebben dus te maken met de functie g: x->x^2 en met de functie h: x->x+1. De vraag is nu: hoe combineer je g en h zodat je f als functie krijgt?
Omdat je (x+1)^2 moet berekenen komt dat neer op eerst de functie h toepassen, dus h(x) berekenen, en daar het kwadraat van nemen. Dat betekent echter dat je g(h(x)) moet bepalen,
dus f(x)=g(h(x))=(h(x))^2=(x+1)^2.
Om de afgeleide van f te bepalen gebruik je de kettingregel f'(x)=g'(h(x))*h'(x). Zoals bekend heeft g: x->x^2 de functie g': x->2*x als afgeleide en heeft
h: x->x+1 de functie h': x->1 als afgeleide, zodat we vinden:
f'(x)= 2*(x+1)*1=2x+2.
Wat je dus doet is eerst kijken hoe een samenstelling van functies er precies uitziet, dus g en h bepalen zodat geldt: f(x)=g(h(x)) en vervolgens de kettingregel toepassen om f' te vinden.




[Dit bericht is aangepast door mathfreak (13-02-2002).]

Hoi, ik heb de kettingfunctie ook net gehad en ik zal ff proberen om het makkelijk uit te leggen!
Als je een formule hebt zoals f=wortel van: x kwadraat + 4
Als je hier de afgeleide van moet hebben dan zet je in plaats van x kwadraat + 4 een U neer.
Dan is de formule dus U tot de 1/2
Daar de afgeleide van is 1/2U tot de -1/2
Dan moet je de afgeleide van x kwadraat + 4 hebben. Dat is 2x
Dat vermenigvuldig je met elkaar. Dat wordt dus (1/2U tot de -1/2)keer (2x)
Dan vul je de U weer in zoals hij moet zijn. (1/2 keer(x kwadraat +4)tot de -1/2) keer (2x)
Ik heb het met woorden gedaan, ik hoop dat je het nu een beetje snapt
Groetjes Marleen