[Wi] Stokes

**23-02-2008, 14:27**

Ik moet een integraal uitrekenen en ik kom er niet uit, dus ik hoop dat iemand me kan/wil helpen.
Ik moet de curl van een vector $\vec{v}=r\vec{\phi}$ integreren over een halve bol met straal R, waarvan de onderkant zich op het x-y-vlak bevindt. Het is de bedoeling om de integraal uit te rekenen zoals die hieronder staat, ik mag geen gebruik maken van de wet van Stokes of over een ander oppervlak integreren.

Het antwoord moet als het goed is $2\pi r^2$ zijn (weet ik niet 100% zeker). Zelf kom ik tot zo ver:

$\int_S curl(\vec{v}) d\vec{S}=\int_S -\frac{1}{r}*\frac{dr^2}{dr}*\vec{\theta} d\vec{S}=\int_S -2\vec{\theta} d\vec{S}$

Iemand enig idee hoe ik verder moet?

**23-02-2008, 15:25**

Ik neem aan dat phi een eenheidsvector is. Ik denk dat het handig is als je die uitdrukt in normale cartetische eenheidsvectoren. Voordeel hiervan is dat de cartetische eenheidsvectoren constanst zijn terwijl die van sferische dat niet zijn.

Vervolgens, je weet dat je moet integreren over een halve bol met straal R. Dus oppervlak van zit er zo uit: $\vec{u}=R\sin{\phi} \cos{\theta} \vec{i}+R\sin{\phi}\sin{\theta} \vec{j}+R\cos{\phi}[/tex] met 0<phi <= 1\2pi en 0<theta<=2pi<br /> [tex]d\vec{S}=\vec{n} dS$
$dS= |\frac{\partial u}{\partial \phi} x \frac{\partial u}{\partial \theta} |$
$\vec{n}=\frac{\frac{\partial u}{\partial \phi} x \frac{\partial u}{\partial \theta} }{|\frac{\partial u}{\partial \phi} x \frac{\partial u}{\partial \theta} |}$
Nu moet het wel lukken?

Als een moderator mijn bericht wilt aanpassen zodat LaTeX werkt dan hebben we er nog iets aan.

mathfreak · **23-02-2008, 15:29**

Citaat:

Global1 schreef:

Als een moderator mijn bericht wilt aanpassen zodat LaTeX werkt dan hebben we er nog iets aan.

Als je tex door latex vervangt in je bericht werkt LaTeX wel.

**23-02-2008, 15:57**

Ok nog een keer dan, maar nu op een andere manier. (sneller denk ik)
Berkenen de rotatie van $v=R\vec{\phi}$ (dat is bij jou niet echt goed gegaan denk ik, rotatie van een vector is altijd opnieuw een vector) Maak gebruik van de laatste derterminant bij http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/curl.html

Als het goed is kom je dan uit op $\frac{R}{R \tan{\theta}} \vec{r}$
En voor je oppervlakte element $d\vec{S}=R^2 \sin{\theta} \ d \theta d \phi \vec{r}$
Neem de dot product en integreer over je oppervlak. (0 <phi>2pi en 0<theta<1/2Pi)

**23-02-2008, 16:15**

Trouwens $\vec{r}$ is telkens de eenheidsvector.
En Mathfreak bedankt voor je tip

**23-02-2008, 16:41**

Citaat:

Global1 schreef:

Ok nog een keer dan, maar nu op een andere manier. (sneller denk ik)
Berkenen de rotatie van $v=R\vec{\phi}$ (dat is bij jou niet echt goed gegaan denk ik, rotatie van een vector is altijd opnieuw een vector) Maak gebruik van de laatste derterminant bij http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/curl.html

Als het goed is kom je dan uit op $\frac{R}{R \tan{\theta}} \vec{r}$
En voor je oppervlakte element $d\vec{S}=R^2 \sin{\theta} \ d \theta d \phi \vec{r}$
Neem de dot product en integreer over je oppervlak. (0 <phi>2pi en 0<theta<1/2Pi)

De rotatie die ik heb berekend is ook weer een vector hoor, namelijk $-2\vec{\theta}$ . Volgens de determinant in de link die je geeft klopt dat ook.
Dat oppervlakte-element ga ik eens proberen, ik hoop dat ik er zo wel uit kom! In ieder geval bedankt voor je antwoorden.

**24-02-2008, 15:04**

Mag ik vragen welke hoeken phi en theta eigenlijk zijn. Ik gebruik ze zoals op dit plaatje:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Afbeeld...oordinates.png

voor curl(v) moet je trouwens krijgen $\left[ \begin{array}{c} {\frac {\cos \left( \theta \right) }{\sin<br /> \left( \theta \right) }}\\-2\\0<br /> \end{array} \right] <br />$
Als je dan alles uitrekend kom je inderdaad uit op $2 \pi r^2$

$\nabla \times \vec{v}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\hat{r}-2\hat{\theta}$

Topictools	Zoek in deze topic
Printversie tonen Deze pagina e-mailen	Zoek in deze topic: Geavanceerd zoeken

Soortgelijke topics
Forum	Topic	Reacties	Laatste bericht
Studeren	kunstmatige intelligentie of twinfo (wi + informatica) I love stars	9	04-03-2008 12:37
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] Stokes Theorem I love stars	16	27-01-2008 21:48

23-02-2008, 16:15
Global1	Trouwens $\vec{r}$ is telkens de eenheidsvector. En Mathfreak bedankt voor je tip

Advertentie