Gulden snede

[_superboer_]

Kan iemand mij een bewijs geven dat in de volgende tekening waar is dat AC/CB=(wortel(5)+1)/2 (oftewel phi)



Ik zal even uitleggen hoe deze figuur is geconstrueerd:
Neem een lijnstuk AB met als midden punt M. Teken loodrecht op AB door het punt B een lijn. Teken een cirkel r met straal BM en middelpunt B. De plek waar de cirkel r het lijnstuk door B snijdt, noemen we P. Maak nu lijnstuk AP en teken de cirkel s met als middelpunt P en straal PB. Het snijpunt van S en AP noemen we Q. Teken nu de cirkel t met als middelpunt A en straal AQ, het punt waar t lijn AB snijdt noemen we C.

[TD]

Zie hier.

[_superboer_]

TD schreef op 13-11-2005 @ 16:53 :
Zie hier.

Daar wordt er al vanuit gegaan dat die verhouding klopt... Maar ik ben er zelf al uitgekomen:

Stel AB = 1, dan geldt:

AB = 1 - Want AB=1
BP = ½ - Want BP = BM = ½AB = ½
AP = ½√(5) - Want AB2 + BP2 = AP2, dus √(12 + ½2)= AP.
Dus AP = √(1,25) = √(¼) * √(5) = ½√(5)
PQ = ½ - Want PQ = PB = ½
AQ = ½√(5) – ½ - Want AQ = AP – PQ = ½√(5) - ½
AC = ½√(5) – ½ - Want AC = AQ = ½√(5) – ½

[Keith]

Voor het gemak zeg ik dat AM=BM=BP=PQ=1.
Volgens pythagoras: AP = sqrt(2^2+1^2)=sqrt(5)

AC=AQ (cirkel) = AP - PQ = sqrt(5) - 1

CB = AB - AC = AM + BM - AC = 2 - (sqrt(5) - 1) = 3 - sqrt(5)

AC/CB = (sqrt(5) - 1)/(3-sqrt(5)) = (sqrt(5) - 1)(3+sqrt(5))/(3-sqrt(5))(3+sqrt(5)) = (3sqrt(5)-3+5-sqrt(5))/(9-5) = (2sqrt(5)+2)/4 = (sqrt(5)+1)/2 = phi

tada

EDIT: Ik was weer eens te langzaam

[blablalou]

hallo K...t,
niet erg! Is wel een leuk bewijs

sorry _..._,

Daar wordt er al vanuit gegaan dat die verhouding klopt

Dat is de definitie!