[WIS] Goniometrie

[_superboer_]

Kan iemand mij de volgende opgave uitleggen?

Gegeven is de functie f(x) = 4 sin⁴x + sin²2x met domein [0,2pi].
Voor welke combinaties van de waarden van p en q is [4,6] het bereik van de functie g(x) = p * f(x) + q?

Alvast bedankt!

[mathfreak]

_superboer_ schreef op 13-10-2005 @ 20:35 :
Kan iemand mij de volgende opgave uitleggen?

Gegeven is de functie f(x) = 4 sin⁴x + sin²2x met domein [0,2pi].
Voor welke combinaties van de waarden van p en q is [4,6] het bereik van de functie g(x) = p * f(x) + q?

Alvast bedankt!

Uit het voorschrift van f volgt dat het voorschrift van g gegeven wordt door g(x)=4*p*sin⁴(x)+p*sin²(2*x)+q=4*p(1/2-1/2*cos(2*x))²+p*sin²(2*x)+q
=4*p(1/4-1/2*cos(2*x)+1/4*cos²(2*x))+p*sin²(2*x)+q
=p-2*p*cos(2*x)+p*cos²(2*x)+p*sin²(2*x)+q
=-2*p*cos(2*x)+2*p+q. Omdat cos(2*x) het bereik [-1,1] heeft, heeft g het bereik [2*p+q+2*p,2*p+q-2*p], dus q=6 en 4*p+q=4*p+6=4, dus 4*p=4-6=-2, dus p=-2/4=-1/2.

mathfreak schreef op 13-10-2005 @ 21:10 :
Uit het voorschrift van f volgt dat het voorschrift van g gegeven wordt door g(x)=4*p*sin⁴(x)+p*sin²(2*x)+q=4*p(1/2-1/2*cos(2*x))²+p*sin²(2*x)+q
=4*p(1/4-1/2*cos(2*x)+1/4*cos²(2*x))+p*sin²(2*x)+q
=p-2*p*cos(2*x)+p*cos²(2*x)+p*sin²(2*x)+q
=-2*p*cos(2*x)+2*p+q. Omdat cos(2*x) het bereik [-1,1] heeft, heeft g het bereik [2*p+q+2*p,2*p+q-2*p], dus q=6 en 4*p+q=4*p+6=4, dus 4*p=4-6=-2, dus p=-2/4=-1/2.

je vergeet een mogelijkheid, waarschijnlijk omdat je het onnodig ingewikkeld zit te maken, met het omschrijven van de functie

.. eenvoudiger lijkt me:

4sin⁴x + sin²2x
= 4 sin²x (1-cos²x) + 4 sin²x cos²x
= 4 sin²x

het bereik van f is dus [0,4], het bereik van g zal dus worden [q,4p+q], dan wel [4p+q,q]

dit levert dat er twee keuzes zijn voor het p en q, namelijk:
{p=1/2, q=4} en {p=-1/2, q=6}