[Wis] Goniometrie

[FastJapie]

Hey.
Ik loop bij de volgende opgave vast:

Maak het tekenverloop van f(x)= (sin(x)/(1-2*sin(x))) op 0<x<2pi
Hoe moet ik dit ook alweer doen? Moest je met de afgeleide iets doen? zoja wat was het ook alweer?

[dutch gamer]

Ik weet niet wat er met "het tekenverloop" bedoeld wordt, maar de afgeleide functie geeft de r.c. van de raaklijn. Als de afgeleide positief is, is de functie (f(x)) stijgend. Is de afgeleide negatief, dan is de functie dalend.

[ILUsion]

           sin x         
f(x) = ------------- 
        1 - 2 sin x

Je moet gewoon voor de teller en de noemer het tekenverloop zoeken en die twee door elkaar delen.

De belangrijkste punten in een tekenverloop zijn natuurlijk de nulpunten, die ga je dus voor beide functies berekenen.

Je krijgt dus:
sin x = 0
x = 0 + k 2pi of x = pi - 0 + k 2pi
x = k pi (vereenvoudigd vanuit de vorige vorm)
In het bereik ]0,2pi[ is er slechts één waarde die daaraan voldoet: pi.

Verder krijg je:
1 - 2 sin x = 0
- 2 sin x = -1
sin x = 1/2
x = pi/6 + k 2pi of x = pi - pi/6 + k 2pi
x = pi/6 + k 2pi of x = 5pi/6 + k 2pi
In dat bereik heb je nu twee waarden die voldoen: pi/6 en 5pi/6.

     x     | 0    pi/6   5pi/6   pi   2pi
-----------+-------------------------------
    T(x)   | 0  +  +   +  +   +  0  -  0
    N(x)   | +  +  0   -  0   +  +  +  +
-----------+-------------------------------
 T(x)/N(x) | 0  +  /   -  /   +  0  -  0

Hierboven het tekenverloop voor het interval [0,2pi] (dus de eerste en laatste kolom had je eigenlijk niet nodig) en T(x) = sin(x) en N(x)=1-2sin(x) (voor teller en noemer) zodat f(x) = T(x)/N(x).

Het enige dat ik niet kan uitleggen is hoe je aan de tekens in het tekenverloop geraakt; die vallen af te lezen op de grafiek maar een wiskundige uitleg ken ik niet. Die zal je wel van een afgeleide kunnen 'afleiden', zeker ?