[WI] De limieten van twee rijen.

[Rob]

Ik heb al gezocht, maar vond veelal vragen over functies en de mijne zijn over rijen.

Mijn eerste vraag:

lim(n->oneindig) van de volgende reeks:

1 + 3 + 5 + ... + (2n+1)
-------------------------------
n²


Nu heb ik twee resultaten als antwoord: 0 en 1. Ik geloof dat 1 goed is, maar kan het niet bewijzen. Hier is wat ik heb gedaan:

1 + 3 + ... is een somrij
De som van zo'n rij is n*((eerste term + laatste term)/2)
De som is dus n*((1 + 2n+1)/2) = n(0.5(1 + 2n+1)) = 0.5n(2n+2) = n² + n

Dit verandert de opgave in
n² + n
--------
n²

wat gelijk is aan n^-1. En dat zou de limiet gelijk stellen aan nul voor n = oneindig.


Anderzijds zag ik het volgende:

2 termen = 1 + 3 = 4 = 2²
3 termen = 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
4 termen = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
5 termen = 1 + 3 + 5 + 7 = 9 = 25 = 5²
etc.

Dus dat de som gelijk is aan n², wat van de opgave n²/n² maakt en dat is dan weer 1.
En als dit goed is, hoe bewijs ik het dan?


Wat is het goede antwoord?


De tweede post ik wel in de volgende post, om het netjes te houden.

[Rob]

Mijn andere probleem is het volgende:

de limiet van n naar oneindig voor de volgende rij:

1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2ⁿ
---------------------------------------
4ⁿ

Volgens mij is dit een meetkundige rij, dus de som is
(eerstvolgende term + eerste term)/ reden - 1

De eerste term is 1
de eerstvolgende 2^{n + 1}

Dus de opgave is volgens mij nu:

1 + 2ⁿ⁺¹
--------------------------
4ⁿ

En hoe moet ik hier verder? Want van deze snap ik niet zoveel. =\

[TD]

Rob schreef op 11-01-2006 @ 13:43 :
I
Dit verandert de opgave in
n² + n
--------
n²

wat gelijk is aan n^-1. En dat zou de limiet gelijk stellen aan nul voor n = oneindig.

Dat klopt niet, ook in dit geval zou de limiet 1 zijn. Voor n naar oneindig gaat n^-1 wel naar 0, maar van de n²/n² staat er nog een 1 voor. Het correcte antwoord is dan ook 1.

Rob schreef op 11-01-2006 @ 13:56 :
Dus de opgave is volgens mij nu:

1 + 2ⁿ⁺¹
--------------------------
4ⁿ

En hoe moet ik hier verder? Want van deze snap ik niet zoveel. =\

4ⁿ gaat een stuk sneller naar oneindig dan 2ⁿ, 4ⁿ is immers 2²ⁿ. Het antwoord is 0.

In beide gevallen heb ik de som van de reeks die je bepaald hebt niet nagekeken.

[Rob]

TD schreef op 11-01-2006 @ 14:35 :
Dat klopt niet, ook in dit geval zou de limiet 1 zijn. Voor n naar oneindig gaat n^-1 wel naar 0, maar van de n²/n² staat er nog een 1 voor. Het correcte antwoord is dan ook 1.

Dat 1 correct is, verwachtte ik al.
Maar hoe kan ik aantonen dat er dus eigenlijk n²/n² staat? (of ga ik nu verkeerd?).

TD schreef op 11-01-2006 @ 14:35 :
4ⁿ gaat een stuk sneller naar oneindig dan 2ⁿ, 4ⁿ is immers 2²ⁿ. Het antwoord is 0.

Maar maken al die termen in de noemer niet uit, dan? 't Lijkt mij toch wel dat dat ooit groter zal worden dan 4ⁿ?

[TD]

Rob schreef op 11-01-2006 @ 14:48 :
Dat 1 correct is, verwachtte ik al.
Maar hoe kan ik aantonen dat er dus eigenlijk n²/n² staat? (of ga ik nu verkeerd?).

Je methode is juist, vervang alle termen in de teller door de overeenstemmende reekssom.

Rob schreef op 11-01-2006 @ 14:48 :
Maar maken al die termen in de noemer niet uit, dan? 't Lijkt mij toch wel dat dat ooit groter zal worden dan 4ⁿ?

Ik zie maar één term in de noemer staan, en dat is 4ⁿ. Misschien bedoel je de teller: daar stonder er "veel" maar die heb je nu toch vervangen door de equivalente som? (Die volgens mij wel 2^(n+1)-1 moet zijn, als ik het zo vlug bekijk)

[Rob]

TD schreef op 11-01-2006 @ 14:50 :
Je methode is juist, vervang alle termen in de teller door de overeenstemmende reekssom.

Okay. Die moet mij nu wel lukken.

TD schreef op 11-01-2006 @ 14:50 :
Ik zie maar één term in de noemer staan, en dat is 4ⁿ. Misschien bedoel je de teller: daar stonder er "veel" maar die heb je nu toch vervangen door de equivalente som? (Die volgens mij wel 2^(n+1)-1 moet zijn, als ik het zo vlug bekijk)

Ja, dat bedoel ik. Ik verwarde de twee.
En ja, als ik de equivalente som vergelijkt met 4ⁿ dan zie ik dat 4ⁿ sneller naar oneindig gaat dan de som zelf.

[TD]

Mooi