Bewijs

[Passiepascal]

Bewijs dat:

Voor ieder a uit R geldt:
Als voor iedere x > 0 geldt 0 <= a < x, dan is a = 0

<= betekend kleiner of gelijk aan.

[mathfreak]

Er is gegeven: 0 <= a < x en x > 0, dus a >=0 en a < x. x > 0 <=> 0 < x. Omdat ook geldt: a < x geeft dit: a=0.

[Passiepascal]

Maar zo heb je het toch niet bewezen?

Kijk maar
stel x = 3 en a = 2

dan staat er:
Er is gegeven: 0 <= a < x en x > 0, dus a >=0 en a < x. x > 0 <=> 0 < x. Omdat ook geldt: a < x geeft dit: a=0

Er is gegeven: 0 <= 2 < 3 en 3 > 0, dus 2 >=0 en 2 < 3. 3 > 0 <=> 0 < 3. Omdat ook geldt: 2 < 3 geeft dit: 2=0

lijkt me niet kloppen. Dit is dus geen bewijs.

[DrPain]

Mathfreak

a<5
4<5
2<5

a is niet altijd hetzelfde, je mag niet zeggen
0<x
a<x dus a = 0, want a kan ook nog 3 zijn als x 4 is...

[Passiepascal]

als het goed is krijg ik as vrijdag in mijn werkcollege het bewijs uitgelegt. Ik zal het vervolgens hier plaatsten. ik twijfel niet aan uw wiskunde capaciteiten, toch zegt mijn gevoel dat het niet het juiste bewijs is. de toekomst zal mij leren.

[mathfreak]

DrPain schreef:
Mathfreak

a<5
4<5
2<5

a is niet altijd hetzelfde, je mag niet zeggen
0<x
a<x dus a = 0, want a kan ook nog 3 zijn als x 4 is...

Voor x=4 geldt in ieder geval: a >=0 en a < 4. Je weet echter niet wat x is. Er is alleen maar gegeven: a >=0 en x > 0 en en a < x. Omdat x > 0 gelijkwaardig is met 0 < x krijgen we: a >=0 en a < x en 0 < x. Zolang ik het door Passiepascal beloofde bewijs nog niet gezien heb houd ik voorlopig aan mijn versie van het bewijs vast. Mocht blijken dat zijn bewijs correct is en het mijne niet, dan ben ik alsnog bereid om toe te geven dat mijn bewijs niet klopt.

Passiepascal schreef:
Bewijs dat:

Voor ieder a uit R geldt:
Als voor iedere x > 0 geldt 0 <= a < x, dan is a = 0

<= betekend kleiner of gelijk aan.

Wat is precies de opdracht?

Staat er toevallig:
Bewijs
(x > 0 ^ 0 <= a ^ a < x) => a = 0
of geef een tegenvoorbeeld.

?

[DrPain]

mathfreak schreef:

Voor x=4 geldt in ieder geval: a >=0 en a < 4. Je weet echter niet wat x is. Er is alleen maar gegeven: a >=0 en x > 0 en en a < x. Omdat x > 0 gelijkwaardig is met 0 < x krijgen we: a >=0 en a < x en 0 < x.

Je redeneerd nu alleen terug, want

a>=0 en a<x en 0<x

is eigenlijk in het begin al gegeven:

Als voor iedere x > 0 geldt 0 <= a < x

Dus je bewijs alleen dat jou redenatie kan kloppen, nog niet dat hij waar is.

[mathfreak]

DrPain schreef:
je bewijs alleen dat jou redenatie kan kloppen, nog niet dat hij waar is.

Laten we maar eens afwachten hoe het door Passiepascal beloofde bewijs er precies uit ziet, dan weten we of mijn redenatie inderdaad klopt of niet. Mocht dat niet het geval zijn, dan ben ik bereid om de onjuistheid ervan te accepteren.

[DrPain]

Ok

[Passiepascal]

Oke daar komt ie:

Zij a uit R, x > 0
Aaname: voor elke x > 0 : 0 <= a < x

drie mogelijkheden: a<0, a=0, a>0 (trichometrie)

Stel a<0: is in tegenspraak met aanname

Stel a>0: Dan betaat er een x zo dat 0 < x < a en dat is in tegenspraak met de aanname. Voorbeeld x = a/2

Dan moet gelden a=0

[mathfreak]

Passiepascal schreef:
Oke daar komt ie:

Zij a uit R, x > 0
Aaname: voor elke x > 0 : 0 <= a < x

drie mogelijkheden: a<0, a=0, a>0 (trichometrie)

Stel a<0: is in tegenspraak met aanname

Stel a>0: Dan betaat er een x zo dat 0 < x < a en dat is in tegenspraak met de aanname. Voorbeeld x = a/2

Dan moet gelden a=0

Hier valt niets meer aan toe te voegen. Mijn redenering was dus inderdaad onjuist.

Passiepascal schreef:


Stel a>0: Dan betaat er een x zo dat 0 < x < a en dat is in tegenspraak met de aanname. Voorbeeld x = a/2

Die volg ik niet... Waarom zou er een x moeten zijn die kleiner is dan a op het moment dat a > 0 ??? Dit is in tegenspraak met de aanname.

x KAN nl niet kleiner zijn dan a (volgens de aanname).

En de stelling klopt niet (zie jou tegenvoorbeeld). Hij is dus onmogelijk te bewijzen.

[Passiepascal]

Ik heb gebruik genmaakt van een bewijs uit het ongerijmde.
Een bewijs uit het ongerijmdewerkt op de volgende manier:

- Je neemt iets aan (aanname).
- Je stelt dat een bepaalde stelling waar is
- Je bewijst dan dat als die stelling waar is, er een tegenspraak komt met de aanname
- Dus kun je concluderen dat datgene wat je stelt, niet waar is.
- uiteindelijk blijft er 1 stelling over die dan waar moet zijn.

In dit geval moet je dus bewijzen dat a=0 als hetgeen je aanneemt waar is.
Als nu a>0, dan bestaat er een x zo dat die tussen 0 en ligt, wat in tegenstelling is met de aanname dat x>a.
Hiermee bewijs je dat a niet groter is dan 0

[mathfreak]

Even een nadere toelichting wat betreft bewijzen uit het ongerijmde: deze bewijsmethode berust op de afleidingsregel a=>b en niet-b=>niet-a. Deze afleidingsregel staat bekend als modus tollens.
Het bewijs uit het ongerijmde verloopt dan als volgt: om te bewijzen dat niet-a geldt veronderstellen we dat a geldt en dat a=>b geldt. Daar we echter op niet-b (de gezochte tegenspraak) uitkomen vinden we dus op grond van de modus tollens dat niet-a geldt, waarmee het bewijs is geleverd.