o.a. Goniometrie (again :D)

Demon of Fire · **09-05-2002, 11:34**

63)
f(x) = 1/2 sin 2x - x cos 2x
Domein [-pi ; pi]

a) De lijn k raakt de grafiek van f in het punt A met xa = 1/4 pi
Bereken in graden nauwkeurig de hoek die de lijn k met de x-as maakt.

Ok, wat denk ik dus.

f(1/4 pi) = 1/2

De y-waarde isdan een 1/2 en x-waarde 1/4 pi.

Dus overstaande delen door de aanliggende.

Tan (1/2 / 1/4pi) = 32º....de betreffende hoek....maar nee dus.

Het boek geeft als antwoord. 58º. Maar als ik mij niet vergis(en dat zal ik uiteraard wel doen

) moet dat de hoek met de y-as zijn. 90 - 32º.

Groetjes
Ben(die het enorm frusterend vind als bepaalde ogenschijnlijke goede methoden niet goed uitpakken

PS: Ik mag geen GR gebruiken.

GinnyPig · **09-05-2002, 11:57**

Jouw methode zou goed zijn als de raaklijn door de oorsprong zou gaan. Dan gebruik je simpel de methode: tan(hoek) = overstaande zijde/aanliggende zijde.

Probleem is: je weet niet of ie door de oorsprong gaat

.

Hoe ik hem zou doen:

f(x) = 1/2 sin 2x - x cos 2x
afgeleide:
f'(x) = cos2x - cos2x + 2xsin2x = 2cos2x + 2xsin2x

f'(1/4 * pi) = 2cos(1/2*pi) + 1/2*pi*sin(1/2*pi) = 0 + 1/2pi * 1 = 1/2pi

Dus de helling van de raaklijn is 1/2pi. Dat betekent: als je 1 naar rechts gaat, ga je 1/2pi omhoog.

Dus de hoek die die maakt met de x-as:
tan(hoek) = (1/2*pi)/1
hoek = tan-inv(1/2*pi) = 58 graden.

En ik neem aan dat je met GF eigenlijk GR bedoelt?

Demon of Fire · **09-05-2002, 12:09**

En nog even vraag b van 63 (zie begin topic)

b) Voor welke p heeft de vergelijking f(x) = p precies 1 oplossing?

Say what?

Groetjes
Ben(die hier niet veel mee kan

Demon of Fire · **09-05-2002, 12:31**

Citaat:

GinnyPig schreef:
Jouw methode zou goed zijn als de raaklijn door de oorsprong zou gaan. Dan gebruik je simpel de methode: tan(hoek) = overstaande zijde/aanliggende zijde.

Probleem is: je weet niet of ie door de oorsprong gaat .

Hoe ik hem zou doen:

f(x) = 1/2 sin 2x - x cos 2x
afgeleide:
f'(x) = cos2x - cos2x + 2xsin2x = 2cos2x + 2xsin2x

f'(1/4 * pi) = 2cos(1/2*pi) + 1/2*pi*sin(1/2*pi) = 0 + 1/2pi * 1 = 1/2pi

Dus de helling van de raaklijn is 1/2pi. Dat betekent: als je 1 naar rechts gaat, ga je 1/2pi omhoog.

Dus de hoek die die maakt met de x-as:
tan(hoek) = (1/2*pi)/1
hoek = tan-inv(1/2*pi) = 58 graden.

En ik neem aan dat je met GF eigenlijk GR bedoelt?

Als ik hem differentïeer dan kom ik uit op.

f(x)= 1/2 sin 2x - x cos 2x

f'(x) = [1/2 sin 2x]' - [x]' cos 2x + x [cos 2x]

f'(x) = 2 . 1/2 . cos 2x - 1 . cos 2x + x -2 sin 2x

f'(x) = -2x sin 2x

Wat doe ik verkeerd?

Groetjes
Ben(die helemaal gek wordt van wiskunde zo langzamerhand

GinnyPig · **09-05-2002, 12:37**

Om deze vraag te beantwoorden moet je de grafiek schetsen op het domein [-pi;pi]. Je moet namelijk kunnen aangeven hoe de grafiek eruit ziet, en waar de toppen liggen.

De grafiek blijkt dus vanaf X1 = -pi te dalen naar een minimum onder de x-as, links van de y-as (dit punt noem ik X2). Vervolgens stijgt de grafiek naar een maximum boven de x-as, rechts van de y-as (dit punt noem ik X3). Daarna daalt de grafiek weer tot het punt X4 = pi.

Als je nu een willekeurige horizontale lijn tekent, kunnen er 4 dingen gelden:
-de lijn snijdt of raakt de grafiek niet.
-de lijn snijdt of raakt de grafiek 1 keer.
-de lijn snijdt of raakt de grafiek 2 keer.
-de lijn snijdt of raakt de grafiek 3 keer.

We willen de 2e eigenschap toepassen op de lijn y = p
Er moet dus gelden:

f(X1) > p > f(X3) of f(X2) > p > f(X4)
want:
f(X1) = hoogste punt vd grafiek
f(X3) = hoogte vh rechtermaximum
f(X2) = hoogte vh linkerminimum
f(X4) = laagste punt vd grafiek

Je weet al:
X1 = -pi
X4 = pi

Van X3 en X2 weet je dat dit respectievelijk het maximum en het minimum zijn. Dus er geldt:
X3 = maximum = 1/2pi
X2 = minimum = -1/2pi

Dus voor p geldt:
f(-pi) > p > f(1/2pi) of f(-1/2pi) > p > f(pi)
pi > p > 1/2pi of -1/2pi > p > pi

GinnyPig · **09-05-2002, 12:44**

Citaat:

Demon of Fire schreef:

Als ik hem differentïeer dan kom ik uit op.

f(x)= 1/2 sin 2x - x cos 2x

f'(x) = [1/2 sin 2x]' - [x]' cos 2x + x [cos 2x]

f'(x) = 2 . 1/2 . cos 2x - 1 . cos 2x + x -2 sin 2x

f'(x) = -2x sin 2x

Wat doe ik verkeerd?

Groetjes
Ben(die helemaal gek wordt van wiskunde zo langzamerhand

Ik deed zelf ook iets fout zie ik nu... maar jij ook

f'(x) = [1/2 sin 2x]' - [x]' cos 2x + x [cos 2x]

moet zijn:
f'(x) = [1/2 sin 2x]' - {[x]' cos 2x + x [cos 2x]}
f'(x) = cos2x - 1 * cos 2x - (x *-2sin2x)
f'(x) = 0 - (-x2sin2x)
f'(x) = 2xsin2x

Voor het antwoord vd raaklijn maakt het echter niks uit. Er geldt tenslotte: cos(1/2pi) = 0

Demon of Fire · **09-05-2002, 12:50**

Heel erg bedankt voor je hulp!!

Je bent mij nieuwe rekenwonder!

Groetjes
Ben(die nog genoeg werk te doen heeft en dus zeker straks genoeg te vragen heeft

GinnyPig · **09-05-2002, 12:52**

AK = irri
Wis = stuk leuker

Demon of Fire · **09-05-2002, 13:04**

Citaat:

GinnyPig schreef:
AK = irri
Wis = stuk leuker

Mwa, Ak is nog quasi-wetenschappelijk

Dus nog leuk.

Maar duits, Nederlands etc. De niet-exacte vakken...die zijn irri!

Groetjes
Ben(die wiskunde wel leuk vind, en dat eigenlijk heeft met alle exacte vakken

Demon of Fire · **09-05-2002, 15:48**

Nog een vraag...

Bereken de extreme waarden voor de functie f(x) = 1/(x-5) - 4/(x+5)

Ik kan het (volgens mij) op 2 manieren doen. Of ik ga eerst de 2 gebroken functies samenvoegen. Of ik ga ze stuk voor stuk differentieren.

Maar in beide gevallen krijg ik het juiste antwoord er niet uit!

Groetjes
Ben(die al sinds vanochten 9 uur bezig is met wiskunde

GinnyPig · **09-05-2002, 16:12**

Citaat:

Demon of Fire schreef:
Nog een vraag...

Bereken de extreme waarden voor de functie f(x) = 1/(x-5) - 4/(x+5)

Ik kan het (volgens mij) op 2 manieren doen. Of ik ga eerst de 2 gebroken functies samenvoegen. Of ik ga ze stuk voor stuk differentieren.

Maar in beide gevallen krijg ik het juiste antwoord er niet uit!

Groetjes
Ben(die al sinds vanochten 9 uur bezig is met wiskunde

f(x) = 1/(x-5) - 4/(x+5)
I samenvoegen:
f(x) = 1/(x-5) - 4/(x+5)
= 1/(x+5) + (-4)/(x+5)
= (x+5)/{(x-5)(x+5)} + {-4(x-5)}/{(x+5)(x-5)}
= (x+5 -4x + 20)/(x^2-25)
= (-3x +25)/(x^2-25)

f'(x) = { -3(x^2-25) - 2x(-3x+25) }/{(x^2-25)^2}
= (-3x^2 + 75 + 6x^2 - 50x) / {(x^2-25)^2}
= (3x^2 -50x + 75) / {(x^2-25)^2}

f'(x) = 0
(3x^2 -50x +75) / {(x^2-25)^2} = 0
3x^2 -50x +75 = 0 en
D = (-50)^2 - 4* 3 * 75 = 1600
x = (50 +/- wrtl(1600))/6
x = 1 + 2/3 of x = 15

f(1+2/3) = -0.9
f(15) = -0.1

II stuk voor stuk differentieren:
f(x) = 1/(x-5) - 4/(x+5) = (x-5)^-1 + -4*(x+5)^-1
f'(x) = -(x-5)^-2 + -4*-1(x+5)^-2
= -1/{(x-5)^2} + 4/{(x+5)^2}

f'(x) = 0
-1/{(x-5)^2} + 4/{(x+5)^2} = 0
4/{(x+5)^2} = 1/{(x-5)^2}
(x+5)^2 = 4(x-5)^2
x + 5 = 2(x-5) of x + 5 = -2(x-5)
x + 5 = 2x - 10 of x + 5 = -2x + 10
-x = -15 of 3x = 5
x = 15 of x = 5/3 (= 1 + 2/3)

GinnyPig · **09-05-2002, 16:13**

Damn wat verveel ik me

Demon of Fire · **09-05-2002, 16:48**

Citaat:

GinnyPig schreef:
Damn wat verveel ik me

I just can't seem to thank you enough!!

Wat wil je na het VWO gaan doen eigenlijk??
Iets in de wetenschap?

Groetjes
Ben(die zelf wel een natuurwetenschappelijke opleiding wil volgen

Miess · **10-05-2002, 20:11**

Citaat:

Demon of Fire schreef:

Als ik hem differentïeer dan kom ik uit op.

f(x)= 1/2 sin 2x - x cos 2x

f'(x) = [1/2 sin 2x]' - [x]' cos 2x + x [cos 2x]

f'(x) = 2 . 1/2 . cos 2x - 1 . cos 2x + x -2 sin 2x

f'(x) = -2x sin 2x

Wat doe ik verkeerd?

Groetjes
Ben(die helemaal gek wordt van wiskunde zo langzamerhand

Gek van wiskunde? Wiskunde is cool!

Demon of Fire · **10-05-2002, 20:22**

Citaat:

Miess schreef:

Gek van wiskunde? Wiskunde is cool!

Ok, I agree...maar soms....heel soms...wordt het wel eens te veel als je meer dan 8 uur per dag aan wiskunde werkt!!

Groetjes
Ben(die er gewoon zeker van wil zijn dat hij het examen haalt

Ignorantia · **12-05-2002, 15:15**

f(x) = .5sin2x - xcos2x

Om het iets duidelijker te maken (hoop ik) hoe ik de productregel gebruik, schrijf ik eventjes:

f(x) = .5sin2x + -xcos2x

Dan de afgeleide nemen, de somregel en de productregel samen gebruiken:

f'(x) = cos2x + (-x * [cos2x]' + cos2x * [-x]')

De afgeleide van cos2x is -2sin2x en de afgeleide van -x is natuurlijk -1.

Dit geeft:

f'(x) = cos2x + (-x * -2sin2x + cos2x * -1)

Oftewel:

f'(x) = cos2x + (2xsin2x - cos2x)
f'(x) = cos 2x + 2xsin2x - cos2x

f'(x) = 2xsin2x

Bij controle op de GR blijkt dit inderdaad te kloppen!

Ignorantia · **12-05-2002, 15:17**

Wat je fout deed was bij het tweede stuk x nemen, in plaats van
-x. Want -x * -2sin2x is gelijk aan 2xsin2x.

Maar wat jij deed, x nemen, levert -2xsin2x.

Leuk he, een minnetje verkeerd nemen, ik weet hoe vervelend dat kan zijn...

Wiskunde is zeeeer kewl, zolang het allemaal klopt

09-05-2002, 12:09
Demon of Fire	En nog even vraag b van 63 (zie begin topic) b) Voor welke p heeft de vergelijking f(x) = p precies 1 oplossing? Say what? Groetjes Ben(die hier niet veel mee kan __________________ Is there Intelligent Life on Planet Earth?....Yes, but I am only visiting. :)

09-05-2002, 12:50
Demon of Fire	Heel erg bedankt voor je hulp!! Je bent mij nieuwe rekenwonder! Groetjes Ben(die nog genoeg werk te doen heeft en dus zeker straks genoeg te vragen heeft __________________ Is there Intelligent Life on Planet Earth?....Yes, but I am only visiting. :)

09-05-2002, 12:52
GinnyPig	AK = irri Wis = stuk leuker __________________ O_o

09-05-2002, 16:13
GinnyPig	Damn wat verveel ik me __________________ O_o

12-05-2002, 15:17
Ignorantia	Wat je fout deed was bij het tweede stuk x nemen, in plaats van -x. Want -x * -2sin2x is gelijk aan 2xsin2x. Maar wat jij deed, x nemen, levert -2xsin2x. Leuk he, een minnetje verkeerd nemen, ik weet hoe vervelend dat kan zijn... Wiskunde is zeeeer kewl, zolang het allemaal klopt __________________ Imagine what you may know tomorrow.

Advertentie