Taylorreeks

[Dotcom]

Iemand hier verstand van?
Ik moet van de n-de graadse benadering van f(x) waar x een sinuspolynoom is de gemaakte fout bepalen en interpreteren op een willekeurig interval [x₁-S, x₁+S) rondom het gekozen punt x=x₁.
Echter wat bedoelen ze met "fout". Als x=x₁ dan is dit immers altijd 0?
Ikke niet snap en het boek is ook vaag!

[Xerras]

*krijgt hoofdpijn bij het zien hiervan*

Sorry, vraag het nogmaals over een jaartje

gemaakte fout????? welke fout dan????

[Alberto]

De Taylorreeks van de sinus is gemakkelijk te bepalen. Gewoon de formule invullen. Dan krijg je voor een n-de orde Taylor benadering (in dit geval rond 0):

sin (x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ... + (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)! + R

Voor een willekeurige functie wordt de gemaakte fout R bij een Taylor benadering rond a in het punt x gegeven door:
R(n,a,x) = integraal(a tot x) (x-t)^n/n! * (d/dt)^n f(t)dt

Je kunt dus wat zeggen over de grote van de fout op je interval afhankelijk van n. Namelijk dat hij kleiner is dan een bepaald getal, en die kun je met die integraal uitrekenen.

Hint: Ik ga niet alles verklappen maar in jouw geval zou ik maar eens de substitutie t=xs doen...

[Dotcom]

Alberto schreef:
Voor een willekeurige functie wordt de gemaakte fout R bij een Taylor benadering rond a in het punt x gegeven door:
R(n,a,x) = integraal(a tot x) (x-t)^n/n! * (d/dt)^n f(t)dt

Je kunt dus wat zeggen over de grote van de fout op je interval afhankelijk van n. Namelijk dat hij kleiner is dan een bepaald getal, en die kun je met die integraal uitrekenen.

Hint: Ik ga niet alles verklappen maar in jouw geval zou ik maar eens de substitutie t=xs doen...

Uhm...

? wat is die f(t)*dt dan?

[Dotcom]

Bullshitverhaal zie ik wel weer, ik weet al hoe het wel moet.

[Alberto]

Dotcom schreef:
Bullshitverhaal zie ik wel weer, ik weet al hoe het wel moet.

Die (d/dt)^n f(t) moest de n-e afgeleide van de Taylor te ontwikkelen functie f(t) naar t voorstellen. Ik vind het een beetje vervelend dat je mijn verhaal een bullshit verhaal noemt. Ik stop daar tijd in om te helpen, omdat ik het zielig vind dat iemand van 20 niet de fout van een Taylor reeks af kan schatten. Dat noem ik geen wiskunde, dat noem ik rekenen.

In jouw geval: als je de reeks rond 0 ontwikkeld had (n-e orde) op een afstand x was je fout kleiner/gelijk geweest aan |x|^(2n+2) / (2n+2)! .

[Dotcom]

Alberto schreef:
Die (d/dt)^n f(t) moest de n-e afgeleide van de Taylor te ontwikkelen functie f(t) naar t voorstellen. Ik vind het een beetje vervelend dat je mijn verhaal een bullshit verhaal noemt. Ik stop daar tijd in om te helpen, omdat ik het zielig vind dat iemand van 20 niet de fout van een Taylor reeks af kan schatten. Dat noem ik geen wiskunde, dat noem ik rekenen.

In jouw geval: als je de reeks rond 0 ontwikkeld had (n-e orde) op een afstand x was je fout kleiner/gelijk geweest aan |x|^(2n+2) / (2n+2)! .

Ok, ik waardeer je hulp maar vond het zeer vaag wat je opschreef.
Om te laten zien dat ik niet lui ben zal ik laten zien hoe ik het gedaan heb:

Omdat we met de Taylorreeks de coefficienten van de veeltermontwikkeling waardes op punt x benaderen, is er een fout tussen de werkelijke functie en de benaderde functie.
We bepalen de gemaakte fout op willekeurig interval [x1-sigma, x1+sigma] rondom gekozen punt x=x1.

Als x nemen we:
x:=0.2

Vervolgens bepalen we de differentiaal waarbij de specifieke diffentiaal voor elke gekozen k bepaald wordt. De k wordt verderop in de formule aangeroepen.


We stellen de iteratie in op 0 tot 5
n:=0,1..5

We stellen de parameters in.
x0:=0
a:=2
b:=10

Dan gaan we f(x) bepalen.


Vervolgens roepen we de differentiaal aan om de taylorreeks te bepalen, wat dus de k meegeeft.


Volledig uitgeschreven is dit:


Aangezien kunnen we de gemaakte fout bepalen met
mathcadTaylor(x)-f(x)

Dit klopt he?