Sommetje

[FF5-rlz]

Een boer heeft een rond weiland met straal r.
Op de rand staat een paal. Aan die paal bindt hij met een touw een geit vast.
De geit mag het halve weiland leegeten.
Bereken touw (T) uitgedrukt in r

!!!Geen benaderingen!!!

[Oen]

T= lengte touw in meter?

[mathfreak]

Om dit probleem op te lossen ga je als volgt te werk: teken een cirkel met een straal r en middelpunt M en laat P het punt op de cirkelrand zijn waar de paal staat waaraan de geit vastzit. Teken de straal MP.
Neem P als middelpunt van een cirkel met straal T met T<2*r en cirkel vanuit P om. De cirkel die je dan krijgt snijdt de cirkel met straal MP in de punten A en B met AP=BP=T. Trek lijnstuk AB. Dit wordt door M middendoor gedeeld waarbij geldt: AM=BM=r. Omdat driehoek AMP rechthoekig is en AM en MP als rechthoekszijden heeft vind je: AP^2=T^2=2*r^2.
Voor de oppervlakte van de cirkelsector PAB vind je de waarde 1/4*pi*T^2=1/2*pi*r^2. Trekken we dit af van de oppervlakte van de cirkel met straal MP (deze oppervlakte is pi*r^2), dan houden we een oppervlakte 1/2*pi*r^2 (de oppervlakte van de helft van het weiland) over. Bovendien weten we ook wat T moet zijn, want T^2=2*r^2,
dus T=r*sqrt(2), waarbij sqrt(2) de wortel uit 2 voorstelt.

[Dit bericht is aangepast door mathfreak (14-02-2002).]

[Oen]

mathfreak schreef:
Om dit probleem op te lossen ga je als volgt te werk: teken een cirkel met een straal r en middelpunt M en laat P het punt op de cirkelrand zijn waar de paal staat waaraan de geit vastzit. Teken de straal MP.
Neem P als middelpunt van een cirkel met straal T met T<2*r en cirkel vanuit P om. De cirkel die je dan krijgt snijdt de cirkel met straal MP in de punten A en B met AP=BP=T. Trek lijnstuk AB. Dit wordt door M middendoor gedeeld waarbij geldt: AM=BM=r. Omdat driehoek AMP rechthoekig is en AM en MP als rechthoekszijden heeft vind je: AP^2=T^2=2*r^2.
Voor de oppervlakte van de cirkelsector PAB vind je de waarde 1/4*pi*T^2=1/2*pi*r^2. Trekken we dit af van de oppervlakte van de cirkel met straal MP (deze oppervlakte is pi*r^2), dan houden we een oppervlakte 1/2*pi*r^2 (de oppervlakte van de helft van het weiland) over. Bovendien weten we ook wat T moet zijn, want T^2=2*r^2,
dus T=r*sqrt(2), waarbij sqrt(2) de wortel uit 2 voorstelt.

[Dit bericht is aangepast door mathfreak (14-02-2002).]

Zie hier het toppunt van een hobbyist. Hoe lang heb je er wel opgezeten? Ik kwam er echt niet uit.

[pol]

Mathfreak :

Ik kom er niet helemaal uit. Ik heb hier het figuurtje getekend, zoals ik denk dat je het bedoelde (waarschijnlijk mis, want ik vind de rechthoekige driehoek niet).



Eerst probeerde ik ook te goochelen met een hoeksector en de oppervlakte van die hoeksector gelijk te stellen met de helft van de oppervlakte van de grote cirkel, maar, als ik dat doe, heb ik er geen rekening mee gehouden dat de geit ook de groene gebieden kan afgrazen. Dus de geit zal bij mijn redenering te veel gegrazen hebben.

Ik hoop dat je mijn problemen begrijpt. Als je mijn figuur verbetert of zelf eentje op het net zet, zal ik het waarschijnlijk (hopelijk, anders ben ik blond) doorkrijgen.

[[Pierewiet]]

Er is een mogelijkheid om T uit te drukken in R.
Beide cirkels hebben dan door de snijpunten van de cirkels een gemeenschappelijke koorde. Deze koorde splitst beide cirkeldelen in sectoren die precies de helft van de oppervlakte van cirkel R omvat!!

De opp. van het segment = Opp. sector - Opp. Driehoek.
Met opp. driehoek wordt bedoelt de driehoek gevormd door de koorde, het middelpunt en de straal R of die van T.

Opp. segment van cirkel R = [{(pi.R^2.a)/360} – 0,5.R^2.sina].
a is de hoek tussen beide stralen van R.
b is de hoek tussen beide stralen van T.

Opp. segment van cirkel T = [{(pi.T^2.b)/360} – 0,5.T^2.sinb].
Je kunt hier T^2 buiten haakjes plaatsen.
Opp. Segment van cirkel T =[{((pi.b)/360} – 0,5.sinb]T^2

De halve opp. van cirkel R = Opp. segment R + Opp. segment T
0,5.pi.R^2 = [{(pi.R^2.a)/360} – 0,5R^2.sina] + [{(pi.b)/360} – 0,5.sinb]T^2

T = sqrt [0,5.pi.R^2 – {(pi.R^2.a)/360} + 0,5.R^2.sina]/[{(pi.b)/360} – 0,5.sinb]

sqrt = square root = wortel

GEEN BENADERINGEN GEPLEEGD!!!!!

[mathfreak]

pol schreef:
Mathfreak :

Ik kom er niet helemaal uit. Ik heb hier het figuurtje getekend, zoals ik denk dat je het bedoelde (waarschijnlijk mis, want ik vind de rechthoekige driehoek niet).

Ik had in mijn figuur een straal T genomen waarvan de lengte tussen r en 2*r lag. Probeer zelf nog maar eens de figuur te tekenen met een waarde van T tussen r en 2*r. Mogelijk wordt dan mijn oplossing wat duidelijker.
Wat Oens vraag betreft: ik denk dat het me hooguit 15 minuten gekost heeft om een oplossing te vinden. Eerlijkheidshalve moet ik zeggen dat de oplossing van [Pierewiet] me meer aanspreekt dan die van mij.

[pol]

mathfreak schreef:
Ik had in mijn figuur een straal T genomen waarvan de lengte tussen r en 2*r lag. Probeer zelf nog maar eens de figuur te tekenen met een waarde van T tussen r en 2*r. Mogelijk wordt dan mijn oplossing wat duidelijker.
Wat Oens vraag betreft: ik denk dat het me hooguit 15 minuten gekost heeft om een oplossing te vinden. Eerlijkheidshalve moet ik zeggen dat de oplossing van [Pierewiet] me meer aanspreekt dan die van mij.

Ja, maar daarmee zie ik nog steeds geen rechthoekige driehoek, en er blijft die groene oppervlakte die je buiten beschouwing gelaten hebt.
Ik denk dat [Pierewiet] de enige is die het juist heeft.

[Demon of Fire]

Nu weet ik weer waarom ik natuurkunde leuker vind dan wiskunde!!

Groetjes
Ben(die natuurkunde veel meer tot de verbeelding vind spreken

[mathfreak]

pol schreef:
Ja, maar daarmee zie ik nog steeds geen rechthoekige driehoek, en er blijft die groene oppervlakte die je buiten beschouwing gelaten hebt.
Ik denk dat [Pierewiet] de enige is die het juist heeft.

Wat ik in mijn figuur gedaan heb is vanuit A en B een loodlijn neerlaten op straal MP waarbij beide loodlijnen door M gaan. Omdat AM loodrecht staat op MP is driehoek AMP rechthoekig. Omdat AM en MP allebei lengte r hebben heeft AP de lengte r*sqrt(2).
Het is inderdaad mogelijk dat ik bij mijn uitwerking een stap gemist heb en dat de oplossing van [Pierewiet] de juiste is.

[[Pierewiet]]

UITERAARD HEEFT PIEREWIET GELIJK!

Het is een kwestie van formules toepassen, wat optellen en aftrekken, worteltje en klaar is POL!

[FF5-rlz]

Mag ik iedereen bedanken voor de oplossingen die jullie gegeven hebben. De meeste wiskunde leraren op onze school kwamen er niet eens uit!
Ik heb het, samen met een vriend, ook
geprobeerd en we dachten er uit te zijn maar jullie berekeningen zijn heel anders.
Ik ga ze nu rustig lezen en als jullie nog een andere som willen:
Er is een gang met oneindige hoogte en met een breedte B. In deze gang staat een ladder van vier meter met de poten in de linkerhoek te leunen tegen de rechter wand. Een ladder van drie meter staat in de rechterhoek tegen de linkerwand. Het snijpunt H, of eigenlijk kruispunt, is 1 meter boven de grond. Hoe groot is B. En kunnen jullie B ook uitdrukken in H? Als jullie deze opgelost hebben heb ik een ECHT moeilijke voor jullie. Succes!

lijkt me niet echt moeilijk. Het weiland is een circel neem ik aan. Dan volgt dus T= aan de helft van de circel. Dus T=r