[WI] George cantor: kardinaliteit van punten [0,1] = kardinaliteit van punten in...

[Upior]

...een p-dimensionale ruimte. George Cantor had dit bewezen en ik wil dit gebruiken voor mijn profielwerkstuk (ik doe het over oneindigheid). Weet iemand dit bewijs, is dit heel moeilijk en kan iemand het hier plaatsen of een link van een internetsite ervan?

[beuk]

Wat is p dan?

Ik ben op de hoogte van het bewijs van Cantor dat de verzameling R van reeele getallen overaftelbaar is, en dat bewijs loopt doorgaans over interval [0,1] al is dat arbitrair. Als je dat bedoelt kan ik het eventueel wel uitleggen. Ik snap je vraag echter niet.

[Upior]

Nou, voor zover ik weet (bind me er niet op vast dus... Ik kan het fout hebben ) zit het zo..

Omdat punten nul-dimensionaal zijn en dus geen afmetingen hebben zitten er oneindig veel punten op het interval [0,1]. Maar nou heeft Cantor bewezen dat de kardinaliteit van deze oneindige verzameling even groot is dan de kardinaliteit van een oneindige verzameling punten in een p-dimensionale ruimte. "p" is hier gewoon een variabele. Het wil dus eigenlijk zeggen dat het niet uitmaakt wat voor een dimensionale ruimte je neemt.. Een tweedimensionale, driedimensionale of hogerdimensionale... Altijd is de kardinaliteit van de oneindige verzameling van punten in die ruimte gelijk aan de kardinaliteit van de oneindige verzameling van punten op het interval [0,1].

Ik hoop dat ik het goed heb en het zo goed heb uitgelegd... Ik ben niet zo'n ster in uitleggen. Misschien kunnen Mathfreak ea. het zeggen?

[DZHAW]

Wat is kardinaliteit?

[mathfreak]

DZHAW schreef op 03-11-2004 @ 19:14 :
Wat is kardinaliteit?

Het begrip kardinaliteit heeft te maken met het aantal elementen van een verzameling. Dit aantal wordt het kardinaalgetal van de verzameling genoemd. Als 2 verzamelingen hetzelfde kardinaalgetal hebben, zegt men dat de kardinaliteit van beide verzamelingen hetzelfde is.

@Upior: Ik heb het zojuist even opgezocht, en het is inderdaad zo dat de n-dimensionale ruimte IRⁿ voor een willekeurig natuurlijk getal n dezelfde kardinaliteit als IR heeft. Overigens gaat het om de Duitse wiskundige Georg Cantor.

[DZHAW]

mathfreak schreef op 03-11-2004 @ 20:05 :
Het begrip kardinaliteit heeft te maken met het aantal elementen van een verzameling. Dit aantal wordt het kardinaalgetal van de verzameling genoemd. Als 2 verzamelingen hetzelfde kardinaalgetal hebben, zegt men dat de kardinalitiet van beide verzamelingen hetzelfde is.

@Upior: Ik heb het zojuist even opgezocht, en het is inderdaad zo dat de n-dimensionale ruimte IRⁿ voor een willekeurig natuurlijk getal n dezelfde kardinaliteit als IR heeft. Overigens gaat het om de Duitse wiskundige Georg Cantor.

Kun je een voorbeeld geven? Q als R, zijn beide oneindig, maar Q is in tegenstelling tot R aftelbaar. Ik neem dus aan dat ze verschillende kardinaalgetallen hebben. Hebben alle verzamelingen die gelijkmachtig zijn met N, (dus aftelbaar) hetzelfde kardinaalgetal? En hoe zit het met eindige verzamelingen. Als je een goede site, met duidelijke uitleg hebt, zou ik je ook dankbaar zijn. Dan hoef ik je niet elke keer lastig te vallen, als me nog meer vragen te binnen schieten

[Upior]

mathfreak schreef op 03-11-2004 @ 20:05 :


@Upior: Ik heb het zojuist even opgezocht, en het is inderdaad zo dat de n-dimensionale ruimte IRⁿ voor een willekeurig natuurlijk getal n dezelfde kardinaliteit als IR heeft. Overigens gaat het om de Duitse wiskundige Georg Cantor.

Okay Maar weet u het bewijs hiervoor? Of is dat heel ingewikkeld om zo uit te leggen?

[beuk]

Upior schreef op 03-11-2004 @ 18:46 :
Nou, voor zover ik weet (bind me er niet op vast dus... Ik kan het fout hebben ) zit het zo..

Omdat punten nul-dimensionaal zijn en dus geen afmetingen hebben zitten er oneindig veel punten op het interval [0,1]. Maar nou heeft Cantor bewezen dat de kardinaliteit van deze oneindige verzameling even groot is dan de kardinaliteit van een oneindige verzameling punten in een p-dimensionale ruimte. "p" is hier gewoon een variabele. Het wil dus eigenlijk zeggen dat het niet uitmaakt wat voor een dimensionale ruimte je neemt.. Een tweedimensionale, driedimensionale of hogerdimensionale... Altijd is de kardinaliteit van de oneindige verzameling van punten in die ruimte gelijk aan de kardinaliteit van de oneindige verzameling van punten op het interval [0,1].

Hmm tja, intuitief zou ik zeggen: bewijs dat er een bijectie bestaat tussen de elementen op het interval [0,1] voor twee ruimtes. Daar volgt dan uit dat de verzamelingen even groot zijn. Pas daarop volledige inductie toe. Klaar

[beuk]

Overigens is het begrip kardinaliteit me ook onbekend. Een goede definitie zou welkom zijn

[liner]

beuk schreef op 04-11-2004 @ 10:30 :
Overigens is het begrip kardinaliteit me ook onbekend. Een goede definitie zou welkom zijn

De cardinaliteit van een verzameling in de wiskunde is, ruwweg gezegd, het aantal elementen van de verzameling. Het begrip 'cardinaliteit' is echter uitgebreider dan dat van 'aantal', want cardinaliteiten zijn ook voor oneindige verzamelingen gedefinieerd.

Twee verzamelingen hebben dezelfde cardinaliteit als ze één-op-één op elkaar kunnen worden afgebeeld, dat wil zeggen dat we aan elk element van de ene verzameling één en niet meer dan één element van de andere verzameling toevoegen, en vice versa (zie ook bijectieve functies).

Van een eindige verzameling is de cardinaliteit het aantal elementen in de verzameling; ook omgekeerd geldt: als de cardinaliteit van een verzameling een natuurlijk getal is, dan is die verzameling eindig. En twee eindige verzamelingen hebben dezelfde cardinaliteit als ze hetzelfde aantal elementen hebben.

Een oneindige verzameling heeft altijd een hogere cardinaliteit dan een eindige (dat wil zeggen, we kunnen aan elk element van de eindige verzameling op één element van de oneindige verzameling afbeelden, maar omgekeerd kan dat niet). De laagste oneindige cardinaliteit is die van de natuurlijke getallen; deze cardinaliteit wordt (aleph-0) genoemd. Verzamelingen met deze cardinaliteit heten aftelbaar oneindig. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat er ook hogere cardinaliteiten bestaan; deze worden ook met het aleph-teken aangegeven: .

[mathfreak]

Upior schreef op 03-11-2004 @ 22:56 :
Okay Maar weet u het bewijs hiervoor? Of is dat heel ingewikkeld om zo uit te leggen?

Ik weet niet hoe het bewijs er precies uitziet, dus daar kan ik je verder niets over vertellen. Ik heb weliswaar in mijn Sesam Atlas van de wiskunde zien staan dat de n-dimensionale ruimte IRⁿ voor een willekeurig natuurlijk getal n dezelfde kardinaliteit als IR heeft, maar er wordt daar verder geen bewijs vermeld. Mogelijk moet je voor het bewijs gebruik maken van de topologische eigenschappen van IR en IRⁿ.

[Tampert]

Heb hier het bewijs voor de verzameling van NAtuurlijke getallen voor me liggen. Ik denk dat het bewijs voor R analoog is.

Zie de verzameling N² als een vlak met punten. Nu gaan we de punten systematisch nummeren:

(1,1)->1
(2,1)->2
(2,2)->3
(3,1)->4



Er bestaat dus een bijectie tussen N en N². Daaruit volgt dat ze dezelfde cardinaliteit hebben.

(met dank aan Robbert Dijkgraaf voor zijn syllabus)

[Upior]

mathfreak schreef op 04-11-2004 @ 18:55 :
Ik weet niet hoe het bewijs er precies uitziet, dus daar kan ik je verder niets over vertellen. Ik heb weliswaar in mijn Sesam Atlas van de wiskunde zien staan dat de n-dimensionale ruimte IRⁿ voor een willekeurig natuurlijk getal n dezelfde kardinaliteit als IR heeft, maar er wordt daar verder geen bewijs vermeld. Mogelijk moet je voor het bewijs gebruik maken van de topologische eigenschappen van IR en IRⁿ.

Hmm.. Wat zijn die topologische eigenschappen van IR en IRⁿ dan?

Ik hoop toch dat iemand hier een bewijs kan leveren, of kan zeggen of het te moeilijk is om te begrijpen voor een 6-VWO-er.. *houdt vingers gekruist*

[Young Grow Old]

Tampert schreef op 04-11-2004 @ 22:13 :
Heb hier het bewijs voor de verzameling van NAtuurlijke getallen voor me liggen. Ik denk dat het bewijs voor R analoog is.

Zie de verzameling N² als een vlak met punten. Nu gaan we de punten systematisch nummeren:

(1,1)->1
(2,1)->2
(2,2)->3
(3,1)->4

(met dank aan Robbert Dijkgraaf voor zijn syllabus)

ik denk niet dat je het voor IR op dezelfde manier kunt doen, want je gebruikt hier de aftelbaarheid van IN.
Ik denk dat je het beste voor IR en IR^p een bijectie kunt zoeken naar IN^IN, maar weet zo even geen geschikte..

[pino123]

De parameter- of vectorvoorstelling van een vlak in 3 is als volgt: u1 + λu2 + µu3; λ en µ doorlopen hierbij de reële getallen. Hierbij is u1 de steunvector, die als het ware bepaalt 'hoe hoog' het vlak komt te liggen; men neemt hiervoor een willekeurig punt van het vlak. De vectoren u2 en u3 zijn richtingsvectoren; hiervoor neemt men de richting van twee willekeurige niet-evenwijdige lijnen in het vlak. Ook een vlak in n wordt bepaald door een steunvector en twee richtingsvectoren. Een hypervlak in een ruimte n is een (n–1)-dimensionale ruimte.

[mathfreak]

Upior schreef op 05-11-2004 @ 09:19 :
Hmm.. Wat zijn die topologische eigenschappen van IR en IRⁿ dan?

Ik hoop toch dat iemand hier een bewijs kan leveren, of kan zeggen of het te moeilijk is om te begrijpen voor een 6-VWO-er.. *houdt vingers gekruist*

Laat die topologische eigenschappen verder maar. Mogelijk kom je hiermee iets verder: http://www.mathacademy.com/pr/prime/...orem/index.asp

@pino123: Wat jij beschrijft heeft meer met lineaire algebra dan met gelijkmachtigheid van verzamelingen te maken.

[beuk]

Tampert schreef op 04-11-2004 @ 22:13 :
[afbeelding]

Mocht de topicstarter hier meer over willen weten, de methode is me bekend als de zwaluwstaartmethode (dove tailing). Daar kun je op google vast iets mee.

Maar zoals iemand hierboven al zei, kun je dit waarschijnlijk niet toepassen op reeële getallen, omdat je daarvoor geen aftelling kunt construeren. (Voor een bewijs daarvan zie de link van mathfreak)

Vraagje aan de topicstarter: hoe ben je hierop gekomen en heb je niet wat meer informatie over de stelling?

[GinnyPig]

Ik heb er een beetje over nagedacht, en volgens mij is het volgende bewijsschets wel geldig...

1.
Eerst de kardinaliteit van het interval (0,1) welke gelijk is aan de machtsverzameling van IN, P[IN]. (dus zonder de grenzen):

Ieder punt op het interval kan je uitschrijven als een binaire ontwikkeling. Dit levert dan getallen op als:
0.011001011000110101....

Uiteraard is voor ieder getal deze ontwikkeling uniek, en bovendien is ieder getal zo te schrijven.

Vervolgens identificeer ik ieder getal met een element uit de verzameling van P[N]; de machtsverzameling N. Dit gaat als volgt:

De verzameling N, is de verzameling {1,2,3,4,5,6,...}, en is een element van P[N]. Als ik nu kijk naar een getal in binaire notatie, dan laat ik de '1' of '0' op de k-de plek bepalen of het k-de getal uit {1,2,3,4,5,6,...} wel of niet wordt genoteerd. Een voorbeeld maakt het makkelijker:

0.011 identificeer ik dus met {2,3}
0.1001 met: {1,4}
0.011001011000110101.... met: {2,3,6,8,9,13,14,16,18,...}

Op deze wijze kan je je wel voorstellen dat dit een 1-op-1 relatie is.
Kardanilteit van (0,1) noteer ik als |(0,1)|
Ik heb dus bewezen:
|P[N]| = |(0,1)|

2.
Ik ga nu bewijzen: |(0,1)| = |IR|
Deze is vrij simpel. Ik gebruik de afbeelding: f: IR->(0,1) = 1/2*ArcTan[x]+1/2. Deze afbeelding is inverteerbaar (Tan[2y-1) en dus 1-op-1. We hebben nu dus:
|P[N]| = |(0,1)| = |IR|

3.
Te bewijzen: |IR²| = |(0,1)|
Dit bewijs maakt gebruik van het bewijs bij 2. Allereerst een afbeelding van IR² op de verzameling G = {x,y}, waarbij x en y beide elementen zijn van het interval (0,1). Dit kan je zien als een afbeelding van de gehele IR² op een 1 bij 1 vierkantje met als hoekpunten de oorsprong, {0,1},{1,0} en {1,1}.

Deze afbeelding is net als bij 2., alleen nu krijg je dus:
{a,b} -> {x,y} = {1/2arctan[a]+1/2,1/2arctan[b ]+1/2}

Volgende stap: bewijzen dat de verzameling G (= {1/2arctan[a]+1/2,1/2arctan[b ]+1/2} met a,b elementen uit IR). even groot is als (0,1). Stel je hebt een element uit G. Dit is dus bijvoorbeeld:

{0.4378... ;0.2625...}

Dan construeer ik simpelweg uit deze 2 getalleen een ander getal, door de getallen "in elkaar te schuiven". Je krijgt bij dit voorbeeld dus:
{0.42367258...}
Wat weer een element is uit (0,1). Deze afbeelding is voor zover ik zie 1-op-1, en dus |IR²| = |G| = |(0,1)|.

4.
Nu ga ik bewijzen dat er geldt: |IR^p| = |(0,1)|
Dit gaat precies zoals bij 3. alleen nu met meer elementen. Je hebt dus weer eerst de afbeelding van
{a,b,c,d,....} -> {1/2arctan[a]+1/2;1/2arctan[b ]+1/2;1/2arctan[c]+1/2;...}.
En vervolgens "schuif" je dit getal ook weer in elkaar:
{0.653...;0.264...;0.346...; 0.262}
Wordt het getal:
0.623254463462...
Ook deze afbeelding is 1-op-1.

En daarmee is de stelling bewezen: |IR^p| = |(0,1)|. Althans, dat denk ik Heb het bewijs voor het grootste zelf bedacht, dus don't shoot me if I'm wrong.

Overigens, de afbeeldingen die je hier hebt zijn niet lineair. Je kan nog steeds niet "een lijn afbeelden op een vlak", volgens een lineaire afbeelding.

[edit]het bewijs gaat overigens alleen op als p eindig is[/edit]

[Upior]

Ziet er in ieder geval interessant uit Weet Mathfreak of dit 100 % klopt?

[mathfreak]

Upior schreef op 10-11-2004 @ 15:03 :
Ziet er in ieder geval interessant uit Weet Mathfreak of dit 100 % klopt?

Voor zover ik na kan gaan klopt dit inderdaad. Het idee van GinnyPig om ieder reëel getal tussen 0 en 1 als een binair getal te schrijven wordt overigens ook bij het wiskunde-onderwijs in België toegepast. In het Tweede Middelbaar komt daar de representatie van reële getallen door middel van een binaire schrijfwijze aan de orde.

[Upior]

mathfreak schreef op 10-11-2004 @ 18:39 :
Voor zover ik na kan gaan klopt dit inderdaad. Het idee van GinnyPig om ieder reëel getal tussen 0 en 1 als een binair getal te schrijven wordt overigens ook bij het wiskunde-onderwijs in België toegepast. In het Tweede Middelbaar komt daar de representatie van reële getallen door middel van een binaire schrijfwijze aan de orde.

Gaaf!

GinnyPig, heb je er bezwaar tegen als ik je bewijs in mijn profielwerkstuk gebruik?

[GinnyPig]

Ja, is goed hoor.

Heb het overigens gedeeltelijk van de syllabus waar Tampert het over had (allebei het vak gevolgd tenslotte ).

Syllabus Symmetrie

En dan onder hoofdstuk 2.5.2