[Wi] Lineaire afbeelding

[Master-CT]

Hallo!

Van een lineaire afbeeldingT: [R]³ ---> [R]³ wordt het beeld van een vector a als volgt verkregen: Eerst wordt a gedraaid over een hoek van 60° om de x-as (tegen de klok), vervolgens wordt de vector met een factor 4 vermenigvuldigd, en tenslotte wordt er gespiegeld in het vlak x=0 (het yz-vlak dus).

Vraag: Bepaal de matrix A van T.

Ik weet wel hoe ik dit moet aanpakken, maar ik weet niet hoe ik die 3 deelmatrices moet maken. Kan iemand mij stap voor stap (grafisch) uitleggen hoe ik die deelmatrices maak?

Bvd!

De tweede is in ieder geval 4 maal de identiteitsmatrix, maar dat wist je waarschijnlijk al.

[bulbanos]

[1,___0______0______0]
[0, cos(60°), -sin(60°) , 0]
[0, sin(60°), cos(60°) , 0]
[0,___0_______0_____1]

dat is de rotatiematrix

de spiegeling is een eenheidsmatrix maar met -1 vanboven ipv 1
(omdat de x coordinaat van teken switcht)

en daarna vermenigvuldig je ze

S*V*R*a=nieuwe a

[GinnyPig]

Zozo, sinds wanneer wordt een lineaire afbeelding in de R-3 met een 4x4-matrix voorgesteld?

De eerste is volgens mij:

1 0 0
0 cos pi/3 -sin pi/3
0 sin pi/3 cos pi/3

[Young Grow Old]

spiegeling in het yz-vlak levert de matrix

-1 0 0
0 1 0
0 0 1

Om de matrix te bepalen, kijk wat er met de 3 basisvectoren (1,0,0), (0,1,0) en (0,0,1) gebeurt (deze vectoren dienen verticaal geschreven te worden).
Als je (1,0,0) in het yz-vlak spiegelt, gaat hij naar (-1,0,0).
(0,1,0) en (1,0,0) maken deel uit van het vlak waarin gespiegeld wordt en blijven dus op hun plaats.

Rotatie om 60 graden (Pi/3 radiaal) om de x-as:
(1,0,0) blijft op zijn plaats (maakt deel uit van de rotatie-as)
(0,1,0) gaat naar (0,cos(Pi/3),sin(Pi/3))
(0,0,1) gaat naar (0,-sin(Pi/3),cos(Pi/3))

De matrix is dus
1 0 0
0 cos(Pi/3) -sin(Pi/3)
0 sin(Pi/3) cos(Pi/3)

Opm: onthoudt dat bij een orthogonale matrix de determinant 1 is bij een rotatie en -1 bij een spiegeling, ter controle.

De factor 4-vermenigvuldiging levert uiteraard
4 0 0
0 4 0
0 0 4

Uiteindelijk is de gevraagde matrix dus de vermenigvuldiging van deze 3 matrices (in de juiste volgorde uiteraard).
(-1 0 0) * (4 0 0) * (1 0 0)
(0 1 0) * (0 4 0) * (0 cos(Pi/3) -sin(Pi/3))
(0 0 1) * (0 0 4) * (0 sin(Pi/3) cos(Pi/3))

excuses voor de opmaak

[bulbanos]

GinnyPig schreef op 04-01-2005 @ 11:59 :
Zozo, sinds wanneer wordt een lineaire afbeelding in de R-3 met een 4x4-matrix voorgesteld?

sinds we in homogene coordinaten werken


en ooh bemerk het verschil tussen mijn uitkomst en die van Young
ongeveer nul komma niets

[Young Grow Old]

bulbanos schreef op 04-01-2005 @ 14:13 :
sinds we in homogene coordinaten werken


en ooh bemerk het verschil tussen mijn uitkomst en die van Young
ongeveer nul komma niets

Ben ik het niet mee eens: jij hebt een foutief min-teken staan voor de cos(Pi/3).
En waarom je een 4x4-matrix hebt gekozen is me nog steeds onduidelijk.

[bulbanos]

Young Grow Old schreef op 04-01-2005 @ 14:25 :
Ben ik het niet mee eens: jij hebt een foutief min-teken staan voor de cos(Pi/3).
En waarom je een 4x4-matrix hebt gekozen is me nog steeds onduidelijk.

aargh, **** da min teken is een copy paste mistake

en die 4x4 is voor in homogene coordinaten te werken en voor makkelijker translaties door te voeren

[mathfreak]

bulbanos schreef op 04-01-2005 @ 14:13 :
sinds we in homogene coordinaten werken

Homogene coördinaten worden uitsluitend in de projectieve meetkunde toegepast, maar dit vraagstuk heeft daar niets mee te maken.

[bulbanos]

mathfreak schreef op 04-01-2005 @ 18:42 :
Homogene coördinaten worden uitsluitend in de projectieve meetkunde toegepast, maar dit vraagstuk heeft daar niets mee te maken.

mja, geven ze het aan de Universiteit van Gent dan maar Euclidische Meetkunde op die manier.
Lineaire afbeeldingen en translaties worden in één matrix uitgedrukt door middel van genormaliseerde homogene coordinaten waardoor het matrixformalisme een compacte vorm krijgt.

[Master-CT]

Hartestikke bedankt voor jullie hulp!

Nu we toch bezig zijn.. Hoe ziet de rotatiematrix eruit als er i.p.v. tegen de klok in, met de klok mee wordt gedraaid?

1 0 0
0 cos(pi/3) sin(pi/3)
0 -sin(pi/3) cos(pi/3)

[GinnyPig]

I.p.v. pi/3 neem je dan -pi/3. cos[x] blijft hetzelfde, sin[x] verandert van teken.