[wis]Gonio

hoe los ik cos(x)=1-sin(x) op?

[TD]

mathfreak schreef op 12-10-2005 @ 19:18 :
Links en rechts kwadrateren geeft: cos²(x)=1-2*sin(x)+sin²(x), dus 1-sin²(x)=1-2*sin(x)+sin²(x), dus 2*sin²(x)-2*sin(x)=0, dus 2*sin(x)(sin(x)-1)=0, dus 2*sin(x)=0 of sin(x)-1=0, dus sin(x)=0 of sin(x)=1, dus x=k*pi of x=1/2*pi+k*2*pi.

Door het kwadrateren voer je mogelijk oplossingen in, formeel kan je in een kwadrateringsvoorwaarde stellen dat de tekens van beide leden gelijk moeten zijn. Voor x = pi gaat dit bijvoorbeeld niet op, je krijgt dan immers -1 = 1.

Na schrappen van de ongeldige (ingevoerde) oplossingen blijft over:
x = 2*k*pi of x = pi/2 + 2*k*pi

[mathfreak]

TD schreef op 12-10-2005 @ 19:24 :
Door het kwadrateren voer je mogelijk oplossingen in, formeel kan je in een kwadrateringsvoorwaarde stellen dat de tekens van beide leden gelijk moeten zijn. Voor x = pi gaat dit bijvoorbeeld niet op, je krijgt dan immers -1 = 1.

Na schrappen van de ongeldige (ingevoerde) oplossingen blijft over:
x = 2*k*pi of x = pi/2 + 2*k*pi

Ik heb mijn vorige reply inmiddels vewijderd. Ik geef nu de oplossing met behulp van de formules voor de dubbele hoek. Voor cos(x)=1-sin(x) kunnen we schrijven 1-2*sin²(1/2*x)=1-2*sin(1/2*x)*cos(1/2*x), dus 2*sin²(1/2*x)-2*sin(1/2*x)*cos(1/2*x)=0, dus 2*sin(1/2*x)(sin(1/2*x)-cos(1/2*x))=0, dus sin(1/2*x)=0 of sin(1/2*x)-cos(1/2*x)=0, dus sin(1/2*x)=0 of sin(1/2*x)=cos(1/2*x), dus 1/2*x=k*pi of 1/2*x=1/4*pi+k*pi, dus x=k*2*pi of x=1/2*pi+k*2*pi.

[TD]

Op die manier kan het inderdaad ook, zonder de 'neveneffecten' van het kwadrateren