Wiskundeopdrachten

[Eloise]

Hoi allemaal,

Als voorbereiding voor volgend jaar ben ik alvast begonnen met wiskunde aangezien het volgend jaar voor problemen kan zorgen..
Nu heb ik wel een antwoordenboek, maar er ontbreken een paar antwoorden. Net de antwoorden die ik zojuist hard nodig heb.
Hopelijk kan iemand de opdrachten voor me nakijken

Dikgedrukt zijn mijn eigen antwoorden

VERZAMELINGEN

Opgave 1

Schrijf korter:

a. {1,2,5} doorsnede {2,5,7} = {2,5}
b. {2,5,7} doorsnede {1,2,5} ={2,5}
c. {0,1,2,8} doorsnede {1,2,4} = {1,2}
d. {1,2,4} doorsnede {0,1,2,8} = {1,2}
e. {1,2,5} doorsnede {3,6,8} ={Ø}
f. {1,2,4} doorsnede Ø = {1,2,4}
g. Ø doorsnede Ø = {Ø}

Opgave 2

Schrijf korter:

a. {1,2,5} vereniging {2,5,7} = {1,2,5,7}
b. {0,1,2,8} vereniging {1,2,5} ={0,1,2,4,8}
c. {1,2,5} vereniging {3,6,8} = {1,2,3,5,6,8}
d. {1,2,4} vereniging Ø = {1,2,4}
e. Ø vereniging Ø = {Ø}

Opgave 3

Schrijf korter:

a. {1,2,5} \ {2,5,7} = {1}
b. {2,5,7} \ {1,2,5} = {7}
c. {0,1,2,8} \ {1,2,4} = {0,8}
d. {1,2,4} \ {0,1,2,8} = {4}
e. {1,2,5} \ {3,6,8} = {1,2,5}
f. {3,6,8} \ {1,2,5} ={3,6,8}
g. {1,2,4} \ Ø = {1,2,4}
h. Ø \ {1,2,4} = Ø
i. Ø \ Ø = Ø

Opgave 4

A en B zijn twee verzamelingen. Vul aan met 'gelijk' of 'verschillend'

a. A doorsnede B en B doorsnede A zijn.. gelijk
b. A vereniging B en B vereniging A zijn.. gelijk
c. A \ B en B \ A zijn... verschillend

Opgave 5

Vereenvoudig de volgende vormen:

a. {1,2,3} vereniging {2,3,4} \ {1} = {2,3,4}
b. {1,2,3} vereniging ({2,3,4 \ {1}) = {1,2,3,4}
c. {1,3,5} doorsnede {3,5,7} vereniging {1} = {1,3,4}
d. {1,3,5} doorsnede ({3,5,7} vereniging {1}) = Ø
e. ({1,2,3} doorsnede {2,3,4}) vereniging ({1,3,4} doorsnede {3,4,5}) = {2,3,4}
f. ({1,2,3} vereniging {2,3,4}) doorsnede ({1,3,4} vereniging {3,4,5}) = {3,4}

Opgave 6

Geef aan of de volgende beweringen waar of onwaar zijn.

a. N is een deelverzameling van Z = Waar
b. Q is een deelverzameling van R = Onwaar
c. Z+ = N = Waar
d. R+ vereniging R- = R = Onwaar
e. R+ doorsnede R- = Ø = Waar
f. N doorsnede Q = N Onwaar

Alvast bedankt

[Integer]

f. {1,2,4} doorsnede Ø = {1,2,4}
De nulverzameling en {1,2,4} hebben geen elementen gemeenschappelijk, want de nulverzameling heeft geen elementen.

b. {0,1,2,8} vereniging {1,2,5} ={0,1,2,4,8}
De 4 moet een 5 zijn, zal wel een typfoutje zijn.

c. A \ B en B \ A zijn... verschillend
Strikt genomen is geen van de antwoorden zonder verlies van algemeenheid juist. Maar 'verschillend' is uit ervaring het meest goede antwoord

a. {1,2,3} vereniging {2,3,4} \ {1} = {2,3,4}
Je vergeet hier de haakjes.

b. {1,2,3} vereniging ({2,3,4 \ {1}) = {1,2,3,4}
Het antwoord is {2,3}.

c. {1,3,5} doorsnede {3,5,7} vereniging {1} = {1,3,4}
Ik mis hier ook haakjes.

f. ({1,2,3} vereniging {2,3,4}) doorsnede ({1,3,4} vereniging {3,4,5}) = {3,4}
{1,2,3,4} doorsnede {1,3,4,5} = {1,3,4}


b. Q is een deelverzameling van R = Onwaar
Q = {a/b : a element van Z, b element van Z}. Ieder element van Q is ook een reeel getal en daarmee een element van R, dus de stelling is waar.

c. Z+ = N = Waar
Dit is nogal een vervelende. Ik meen mij te herinneren dat er een discussie is over of 0 nu wel of niet een element van N is. Naar mijn idee: N = {0,1,2, ...} en Z+ = {x element uit Z: x > 0}. Aangezien 0 dan een element van N is maar niet van Z+ zijn de verzamelingen verschillend.

f. N doorsnede Q = N Onwaar
Dit is wel waar, want ieder natuurlijk getal x is ook een element uit Q (namelijk x/1).

Ik heb het gevoel dat je deze basisconcepten van de verzamelingenleer wel begrijpt, maar dat je nog iets nauwkeuriger de zaakjes moet uitwerken (zoals de haakjes). In ieder geval is het grote fundament voor de verlichte wetenschap die wiskunde heet, gelegd Succes!

[Eloise]

Bedankt voor het nakijken! Je hebt me hier enorm mee geholpen..

Alleen dit klopt niet:

a. {1,2,3} vereniging {2,3,4} \ {1} = {2,3,4}
Je vergeet hier de haakjes.

c. {1,3,5} doorsnede {3,5,7} vereniging {1} = {1,3,4}
Ik mis hier ook haakjes.

Althans, ik ben de haakjes niet vergeten. Ze stonden niet in de opgave zelf..



Of bedoel je ermee dat ik ze zelf had moeten toepassen, ondanks dat ze er niet staan (prioriteit)

[Integer]

Mijn fout, de haakjes zijn hier inderdaad irrelevant. Het eerste antwoord is echter wel {2,3}, en het tweede antwoord {1,3,5}, kijk dat nog even na.

[mathfreak]

Integer schreef op 10-08-2006 @ 22:27 :
de nulverzameling heeft geen elementen

Dat gaat alleen op als je de lege verzameling met de nulverzameling identificeert, zoals jij hier doet. Het begrip nulverzameling heeft in de maattheorie echter een ruimere betekenis. Daar bedoelt men met een nulverzameling een verzameling met maat nul. Naast de lege en niet-lege eindige verzamelingen zijn dit bepaalde aftelbare en overaftelbare verzamelingen, vandaar dat ik er voor pleit om in dit geval gewoon over de lege verzameling te spreken.

[MickeyV]

Wanneer ga je promoveren op de wiskunde, math?

[IvdSangen]

e. {1,2,5} doorsnede {3,6,8} ={Ø}

g. Ø doorsnede Ø = {Ø}

{Ø} betekent de verzameling bestaande uit een element zijnde de lege verzameling. Wat je hier schrijft is dus een een verzameling van verzamelingen, terwijl je `gewoon' de lege verzameling bedoelt.

f. N doorsnede Q = N Onwaar

Dit is gewoon waar.

[ILUsion]

d. R+ vereniging R- = R = Onwaar
Dit is volgens mij fout, alle positieve en alle negatieve rationale getallen samen, geeft de verzameling van de rationale getallen. Het struikelblok is de "0", die moet volgens mij (Vlaams onderwijs, ASO) zowel in R⁺ als in R^- inzitten. Dit hangt natuurlijk van de definitie van die verzamelingen af.

e. R+ doorsnede R- = Ø = Waar
Hier net hetzelfde probleem, volgens mijn opleiding is R⁺ doorsnede R^- = {0}, wat dus onwaar als antwoord zou moeten geven.

In België heb ik steeds geleerd dat 0 beide toestandstekens heeft en niet dat 0 een soort eigen toestandsteken is.

[TD]

ILUsion schreef op 12-08-2006 @ 14:14 :
In België heb ik steeds geleerd dat 0 beide toestandstekens heeft en niet dat 0 een soort eigen toestandsteken is.

In België wordt 0 meestal zowel positief als negatief beschouwd, in Nederland geen van beiden. Dat uit zich ook in het verschil tussen stijgen/dalen met al dan niet "strikt" erbij.

[mathfreak]

ILUsion schreef op 12-08-2006 @ 14:14 :
d. R+ vereniging R- = R = Onwaar
Dit is volgens mij fout, alle positieve en alle negatieve rationale getallen samen, geeft de verzameling van de rationale getallen. Het struikelblok is de "0", die moet volgens mij (Vlaams onderwijs, ASO) zowel in R⁺ als in R^- inzitten. Dit hangt natuurlijk van de definitie van die verzamelingen af.

Hier in Nederland maakt men onderscheid tussen R⁺={x element R|x > 0} en
R₀⁺={x element R|x >= 0}. Analoog definieert men: R^-={x element R|x < 0} en
R₀^-={x element R|x <= 0}. Voor de vereniging van R⁺ en R^- krijgen we dan R\{0}, dus daaruit volgt dat R⁺ verenigd met R^-=R niet juist is. Overigens stelt R de verzameling reële getallen voor. De verzameling rationale getallen wordt weergegeven met Q.

ILUsion schreef op 12-08-2006 @ 14:14 :
e. R+ doorsnede R- = Ø = Waar
Hier net hetzelfde probleem, volgens mijn opleiding is R⁺ doorsnede R^- = {0}, wat dus onwaar als antwoord zou moeten geven.

Op grond van de hiervoor gegeven definitie geldt: R⁺ door R^-=Ø, dus de bewering is inderdaad waar.

ILUsion schreef op 12-08-2006 @ 14:14 :
In België heb ik steeds geleerd dat 0 beide toestandstekens heeft en niet dat 0 een soort eigen toestandsteken is.

Laat a een gegeven getal zijn, dan noemen we -a het tegengestelde van a. Op grond van deze definitie geldt dat 0 gedefinieerd kan worden als het getal dat zichzelf als tegengestelde heeft. Stel namelijk a=-a, dan geldt: a+a=a+(-a)=a-a=0, dus 2*a=0, dus a=0. We noemen a een negatief getal voor a<0 en een positief getal voor a>0, dus 0 fungeert als een grens tussen de positieve of negatieve getallen, zonder zelf een bepaald teken te hebben.

[TD]

Zoals ik al aangaf kan dat hier in Vlaanderen soms anders gegeven worden. Positief is dan ook ≥0 en negatief ≤0 met 0=-0=+0. Hetzelfde met stijgen (≥) en dalen (≤) waar wij "strikt" aan toevoegen voor de strikte ongelijkheden. Niet erg logisch als je het mij vraagt, want een constante functie is dan zowel stijgend als dalend.