[WI] School olympiade

[goku93]

hallo allemaal,

Ik was opzoek voor een soort school wedstrijd naar wiskundige vraastukken.
En ik dacht een luke te gevonden hebben

Ik was van plan mij te focussen op Getallenrijen, en ik heb een aantal leuke getallenrijen gevonden op www.fibonicci.com/nl/cijferreeksen

maar ik snap één rij niet namelijk:

1 0 1 -1 2 ...

kan iemand mij uitleggen wat het antwoord is en waarom?
waarschijnlijk is het heel simpel voor jullie

groetjes

[ILUsion]

Bij een rij ben je nooit helemaal zeker, maar deze lijkt me eigenlijk eentje waarvan het patroon een beetje lijkt op dat van Fibonacci zelf.

Als je de termen nummert, beginnende met u0 en u1, kan je in ieder geval voor deze rij al een recursief verband bedenken. Een krachig hulpmiddel voor rijen is de Z-transformatie, maar de achterliggende wiskunde is niet zo simpel. Kortom, ik ga je ook maar een intuïtieve methode geven. Daarvoor bestaat er spijtiggenoeg geen vast stramien, zodat het neerkomt op zelf proberen. Waar er wel vaste regels voor bestaan, zijn voor rekenkundige en meetkundige rijen (en bij uitbreiding ook voor machtrijen, ...). Maar dat is maar een klein deeltje van de mogelijkheden, en ook hetgene waartoe ze op school toe beperken.

Hoe ik tot een oplossing kwam, was die eerste term eventjes weg te laten, dan zie je het makkelijker, omdat de tweede term een 0 is. Herinner je dat voor Fibonacci geldt: u(n+1) = u(n-1) + u(n ), met u(0) = 1, u(1) = 1. Wat je nu voor je houdt, zijn de getallen 0 1 en -1. Die -1 lijkt ergens wel van een Fibonacci afkomstig te zijn (0 + 1 =1), behalve dat we -1 uitkomen in plaats van +1. Dus misschien is de formule niet u(n+1) = u(n-1) + u(n ), maar gewoon daar een teken in veranderd (dat kan je hier veronderstellen omdat die tweede term 0 is, zo zie je het ietsje makkelijker), dus als we eens proberen met de recursieve formule u(n+1) = u(n-1) - u(n ). En als je die uitprobeert, merk je dat hij zal voldoen, als je u(0) = 1 en u(1) = 0 neemt.

Waarschijnlijk lijkt het zeer moeilijk, en eigenlijk is het dat ook: een voorschrift vinden voor een rij getallen is zeker niet makkelijk; de snelste manier is vaak gewoon iets proberen en zien of het uitkomt en door een beetje na te denken bij je verschillende gokken.

[goku93]

Mijn eerste indruk toen ik je reactie las was:

Waaaaaatttttttttttttttt?

Nog eens snel opgezocht wat fibonacci nog eens was.

mij tweede reactie is waaaaaaaaaaaaaaattttt?

Sorry maar dat gaat me echt boven de pet! Als ik snapte wat je daar nu zegt dan had ik waarschijnlijk niet een topic gestart over een getallenrij haha

ma ok 1+1 = 2, 1+2 =3? ik zie ff niet wat fibonacci met de bovenstaande reeks te maken heeft. Misschien een tip?

[mathfreak]

goku93 schreef:

hallo allemaal,

Ik was opzoek voor een soort school wedstrijd naar wiskundige vraastukken.
En ik dacht een luke te gevonden hebben

Ik was van plan mij te focussen op Getallenrijen, en ik heb een aantal leuke getallenrijen gevonden op www.fibonicci.com/nl/cijferreeksen

maar ik snap één rij niet namelijk:

1 0 1 -1 2 ...

kan iemand mij uitleggen wat het antwoord is en waarom?
waarschijnlijk is het heel simpel voor jullie

groetjes

De rij van Fibonacci wordt gedefinieerd als u_n+1=u_n-1+u_n, met u₀=u₁=1. Je vindt de volgende term in de rij van Fibonacci dus door de 2 voorafgaande termen op te tellen. Stel dat de rij die jij noemt wordt gedefinieerd als u_n+1=a*u_n-1+b*u_n, met u₀=1 en u₁=0, waarbij a en b bepaald moeten worden. Er moet dan gelden: u₂=a*u₀+b*u₁, dus a+0*b=1, dus a=1. Voor n=2 vinden we: u₃=u₁+b*u₂, dus -1=0+b, dus b=-1, dus de rij wordt gedefinieerd als u_n+1=u_n-1-u_n, met u₀=1 en u₁=0.

[ILUsion]

goku93 schreef:

Mijn eerste indruk toen ik je reactie las was:

Waaaaaatttttttttttttttt?

Nog eens snel opgezocht wat fibonacci nog eens was.

mij tweede reactie is waaaaaaaaaaaaaaattttt?

Sorry maar dat gaat me echt boven de pet! Als ik snapte wat je daar nu zegt dan had ik waarschijnlijk niet een topic gestart over een getallenrij haha

ma ok 1+1 = 2, 1+2 =3? ik zie ff niet wat fibonacci met de bovenstaande reeks te maken heeft. Misschien een tip?

Ik heb enkel de moeite niet genomen om de indices onder mijn u te zetten zoals mathfreak, maar in haakjes. Wat het voorschrift betreft: fibonacci heeft als eerste twee termen het getal 1; en de recursieve formule zegt dat een term met index N gelijk is aan de som van de vorige twee termen.

Met deze rij, je kan wat zitten prutsen en doen, en dat is niet simpel en komt meestal gewoon neer op prutsen tot het uitkomt. Er bestaat niet zoiets als een echt vast stramien voor een algemene reeks nummers. Maar als je een tijdje prutst, zoals ik gedaan heb en geprobeerd om iets van patroon erin te vinden (uitleg staat hierboven): dan is een term gelijk aan de term die er twee plaatsen voor staat (N-2) min de term die er juist voor staat (N-1). En dat verband voldoet voor alle getallen die je gegeven hebt. Het makkelijkste is gewoon te beginnen bij een kleiner aantal termen dan je volledige gegeven rij.

Bv.
0 2 4 6 8 10
Als je daar met 2 termen begint, (0 2) zie je dat er een verschil van 2 tussen zit, dus je hebt een voorstel voor je voorschrift: telkens 2 bijtellen. En je merkt dat het werkt.

Bv.
1 2 2 4 8 32 256
Als je nu gaat kijken naar de eerste twee termen (1 2), kan je twee makkelijke dingen bedenken: overal 1 bij optellen OF vermenigvuldigen met 2. Als je dat probeert op de hele rij, merk je dat dat niet uitkomt. Als je geen verband kan vinden met die 2 termen, probeer je verder met 3 termen (1 2 2). Daar kan je al voorstellen: dat de laatste term het product is van beide voorgaande termen. En als je gaat controleren bij de andere termen, komt dat ook zo uit.

Nu, die voorbeelden heb ik gewoon ook bedacht, dus kan ik zonder veel moeite zeggen wat je kan proberen. Maar bij een algemene rij, is het altijd moeilijk een voorschrift te vinden, en dat is ook de reden dat IQ-testen daar soms zo hard op doorvragen; juist omdat het iets moeilijks is, waar je uit jezelf verschillende verbanden moet proberen (en meestal zijn dat gewoon simpele bewerkingen (optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen, machtsverheffing, ...), maar de moeilijkheid zit er ook in dat je niet beperkt hoeft te blijven tot die bewerkingen.

Om het verband tussen Fibonacci en deze rij te zien, moet er een kronkel in je hersenen goed zitten (of verkeerd, zoals sommige mensen denken). Waar het op neerkomt, is dat je iets probeert, en dat proberen doe je meestal geheel willekeurig. Mijn eerste probeersel wat Fibonacci proberen (vermits dat ook in je URL stond, waar ik mijn eerste connectie met Fibonacci legde; plus is het zowat een standaardrij); en ik merkte dat het slechts een licht aangepast voorschrift was. Hoe je dat voor jezelf moet nagaan bij een willekeurige rij, is, zoals ik hier al te veel heb gezegd: geheel persoonlijk en moeilijk.