[WI] Vergelijking oplossen

[Woepie]

Hoi,

Bij het maken van opdrachten kwam ik de volgende vergelijking tegen: x^4 - x^3 - 7x^2 + x +6 = 0
De bedoeling is om van deze vergelijking alle mogelijke waardes voor x te krijgen. Dit moet ook mogelijk zijn door hem te ontbinden in factoren, maar dan moet je iets van (x-a)(x+b)(x-c) krijgen en ik weet niet meer hoe je dat moet uitrekenen met 'drie haakjes'.

Weet iemand hoe ik dit moet aanpakken? Het gaat vooral om de manier waarop, want ik moet nog meer van dit soort opdrachten maken en het antwoord weet ik al, dat is: x = -2, x = -1, x = 1 of x = 3.

Alvast bedankt!

[Mr.Mark]

Welk niveau doe je?

[Woepie]

Misschien weet iemand het als je het van de andere kant bekijkt: hoe kom ik van (x +1)(x - 2)(x - 3) naar x^3 - 4x^2 + x -6?

[Mr.Mark]

Gewoon vermenigvuldigen:

[Dark_One]

De andere kant moet je eerst een of twee triviale oplossingen (1 als het derdegraads is, 2 als het vierdegraads) is zien te vinden (probeer 1, -1 of misschien 2). In dit geval dus 1 en -1. Dan weet je dat je (x+1)(x-1)=x^2-1 buiten haakjes kan halen. Je moet dan de vergelijking staartdelen door deze twee factoren, dus (x^4-x^3-7x^2+x+6)/(x^2-1)=x^2-x-6=(x+2)(x-3). Voor het staartdelen van een polynoom kijk op http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division (helaas geen Nederlandse), of als je echt denkt dat dit is wat je moet doen wil ik het je ook wel uitgebreider uitleggen.

x^4 - x^3 - 7x^2 + x +6 = 0
x - 1 buiten haakjes halen geeft:

(x - 1) × = 0

(x - 1) × (x³ - 7x - 6) = 0

x + 1 buiten haakjes halen geeft:

(x - 1) × (x + 1) × = 0

(x - 1) × (x + 1) × (x² - x - 6) = 0

(x - 1) × (x + 1) × (x + 2) × (x - 3) = 0

[Woepie]

Mr.Mark schreef:

Gewoon vermenigvuldigen:

Haha, eigenlijk is het heel simpel, maar ik keek niet goed! Dit kan ik wel, heel erg bedankt!

[Woepie]

Alg schreef:

x^4 - x^3 - 7x^2 + x +6 = 0
x - 1 buiten haakjes halen geeft:

(x - 1) × = 0

(x - 1) × (x³ - 7x - 6) = 0

x + 1 buiten haakjes halen geeft:

(x - 1) × (x + 1) × = 0

(x - 1) × (x + 1) × (x² - x - 6) = 0

(x - 1) × (x + 1) × (x + 2) × (x - 3) = 0

Als ik dit zie snap ik het wel! Maar als ik de som zie, zie ik niet wat ik eruit moet halen, want normaal weet ik natuurlijk niet wat de oplossing is. Hoe zie je nu dat je er eerst (x-1) en dan (x+1) en zo verder eruit moet halen?

[Woepie]

Dark_One schreef:

De andere kant moet je eerst een of twee triviale oplossingen (1 als het derdegraads is, 2 als het vierdegraads) is zien te vinden (probeer 1, -1 of misschien 2). In dit geval dus 1 en -1. Dan weet je dat je (x+1)(x-1)=x^2-1 buiten haakjes kan halen. Je moet dan de vergelijking staartdelen door deze twee factoren, dus (x^4-x^3-7x^2+x+6)/(x^2-1)=x^2-x-6=(x+2)(x-3). Voor het staartdelen van een polynoom kijk op http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division (helaas geen Nederlandse), of als je echt denkt dat dit is wat je moet doen wil ik het je ook wel uitgebreider uitleggen.

Zo'n staartdeling staat ook in mijn boek en dat snap ik wel, maar ik zie zelf niet waardoor ik moet delen om tot de goede oplossing te komen. Hoe kom je daarachter?

De tweede keer was een beetje proberen, maar de eerste was makkelijk.

x^4 - x^3 - 7x^2 + x +6 = 0
Oftewel:
x^3 (x - 1) - 7x^2 + x +6 = 0

[Woepie]

Alg schreef:

De tweede keer was een beetje proberen, maar de eerste was makkelijk.

x^4 - x^3 - 7x^2 + x +6 = 0
Oftewel:
x^3 (x - 1) - 7x^2 + x +6 = 0

Ja, en dan werk je hem gewoon verder uit en kan je weer verder kijken. Deze zie ik nu, maar als ik dan naar een volgende opdracht ga kijken kom ik er niet meer uit. De volgende opdracht is: 2x^3 + 11x^2 - 7x - 6 = 0.
Eerst probeerde ik er weer (x - 1) uit te halen, want dat leek me wel mogelijk. Verder kwam ik niet, want ik kreeg dan: (x - 1)(2x^2 - 11x + 6) en volgens mij klopt dit al niet meer en ik kom al helemaal niet verder.
Als ik hem dan weer uitwerk krijg ik: 2x^3 - 11x^2 + 6x - 2x^2 + 11x - 6 = 2x^3 - 7x^2 + 17x - 6. Wat doe ik hier dan fout?

[Dark_One]

Woepie schreef:

Ja, en dan werk je hem gewoon verder uit en kan je weer verder kijken. Deze zie ik nu, maar als ik dan naar een volgende opdracht ga kijken kom ik er niet meer uit. De volgende opdracht is: 2x^3 + 11x^2 - 7x - 6 = 0.
Eerst probeerde ik er weer (x - 1) uit te halen, want dat leek me wel mogelijk. Verder kwam ik niet, want ik kreeg dan: (x - 1)(2x^2 - 11x + 6) en volgens mij klopt dit al niet meer en ik kom al helemaal niet verder.
Als ik hem dan weer uitwerk krijg ik: 2x^3 - 11x^2 + 6x - 2x^2 + 11x - 6 = 2x^3 - 7x^2 + 17x - 6. Wat doe ik hier dan fout?

Als je je eigen uitwerkingen niet erbij zet is het moeilijk om te zien wat je fout doet... maar het buiten haakjes halen van (x-1) gaat iig fout en ik snap ook niet goed waarom je die twee nu van elkaar af gaat halen.

(x-1)/(2x^3+11x^2-7x-6)\2x^2+13x+6
- 2x^3-2x^2 [=2x^2*(x-1)]
(13x^2-7x-6)
- 13x^2-13x [=13x*(x-1)]
(6x-6)
- 6x-6 [=6*(x-1)]
0

2x^2+13x+6=(2x+1)(x+6) dus (2x^3+11x^2-7x-6)=(x-1)(2x+1)(x+6)

Om die (2x+1)(x+6) te vinden ga je eerst naar de kwadratische term kijken, dan weet je dat het 2x*x moet zijn (als je met hele getallen wil blijven werken). Dan krijg je dus dat 2*a+b=13 en a*b=6 even alle getallen langsgaan:
a|b
1|6 2*1+6=8
2|3 2*2+3=7
3|2 2*3+2=8
6|1 2*6+1=13

Wat je ook kunt doen als je bij een kwadratische functie de termen niet kan vinden is gewoon de abc-formule uitschrijven, dan krijg je vanzelf de termen.