kegel

[saxy girl]

kan iemand me helpen met deze opgave ?

De totale oppervlakte van een kegel is pi *k² , de hoogte van de kegel is h. Bereken de inhoud van de kegel.

[saxy girl]

zelf kom ik tot:

r is de straal en a apothema

totale opp = opp grondvlak + zijopp
= pi * r² + pi * r* a


=> k² = r*a + r²


inhoud= 1/3 * h * r²* pi

= 1/3 * h *pi * (k² - r *a)

hoe krijg ik dan de r en de a geëlimineerd?

wat is de k en wat is een apothema??

[saxy girl]

k is gewoon een waarde, een soort constante

[saxy girl]

een apothema van een kegel:

van de top tot een punt op de cirkelomtrek (zodat het eigenlijk de schuine zijde is van de rechthoekige driehoek, gevormd door de hoogte en de straal van het grondvlak)

saxy girl schreef op 23-04-2003 @ 19:06:
zelf kom ik tot:

totale opp = opp grondvlak + zijopp
= pi * r² + pi * r* a


=> k² = r*a + r²


inhoud= 1/3 * h * r²* pi

= 1/3 * h *pi * (k² - r *a)

hoe krijg ik dan de r en de a geëlimineerd?

het ziet er zo goed uit

inhoud =1/3*h*pi*(r*a+r²-r*a) = 1/3*h*pi*r²
dan ben je dr al

[saxy girl]

de bedoeling is eigenlijk dat er geen r en a meer in de inhoud voorkomen. dus het moet een uitdrukking worden in k, h, pi enzo

saxy girl schreef op 24-04-2003 @ 17:13:
de bedoeling is eigenlijk dat er geen r en a meer in de inhoud voorkomen. dus het moet een uitdrukking worden in k, h, pi enzo

oeps, beetje verkeerd gelezen

[tý]

mathfreak schreef op 24-04-2003 @ 19:06:
Je kunt in ieder geval gebruik maken van het gegeven dat a de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden r en h voorstelt. Noem de tophoek van de kegel fi, dan geldt: tan(1/2*fi)=r/h,
dus r=h*tan(1/2*fi) en sin(1/2*fi)=r/a,dus a=r/sin(1/2*fi)=h/cos(1/2*fi). Er geldt nu: k²=h²*tan(1/2*fi)/cos(1/2*fi)+h²*tan²(1/2*fi)
=h²*tan(1/2*fi)(1/cos(1/2*fi)+tan(1/2*fi). Omdat je weet wat r is, uitgedrukt in h en 1/2*fi en omdat je de formule voor de inhoud van een kegel kent (1/3*pi*r²*h) vind je voor de inhoud de waarde
1/3*pi*h³*tan(1/2*fi)=1/3*pi*h*tan(1/2*fi)*h².
Invullen van h²=k²/[tan(1/2*fi)(1/cos(1/2*fi)+tan(1/2*fi)]
=k²*cos(1/2*fi)/[tan(1/2*fi)(1+sin(1/2*fi)] geeft de uiteindelijke formule 1/3*pi*h*tan(1/2*fi)*k²*cos(1/2*fi)/[tan(1/2*fi)(1+sin(1/2*fi)]
=1/3*pi*h*k²*cos(1/2*fi)/(1+sin(1/2*fi).

waarom zou je een nieuwe variabele gaan introduceren (phi) ?
verder vind ik dat je zulke uitdrukkingen met sin/cos beter kunt vermijden om dat het soms lastig kan zijn vergelijkingen mee op te lossen

ik zou het eerder zo aanpakken:

r, h en a vormen een rechthoekige driehoek, met a als schuine zijde, dus:
a² = r²+h² => a = sqrt(r²+h²)

opp. grondvlak = pi * r²
opp. mantel = pi * a² * (2*pi*r)/(2*pi*a) = pi * r * a

pi * k² = pi*r² + pi*r* a
k² = r² + r*a


k² = r² + r*a én a = sqrt(r²+h²) levert na substitutie op:

k² = r² + r*sqrt(r²+h²)
k² - r² = r*sqrt(r²+h²)

beide zijde kwadrateren:
(k² - r²)² = r² * (r²+h²)

haakjes wegwerken:
k^4 - 2k²r² + r^4 = r^4 + r²h²
k^4 - 2k²r² = r²h²
k^4 = r²h² + 2k²r²

r² buiten haakjes halen:
k^4 = r²(h² + 2k²)
r² = k^4 / (h² + 2k²)


formule inhoud kegel:
I = (1/3) * pi * r² * h
I = (1/3) * k^4 / (h²+2k²) * h


---
I = pi(k^4 * h) / 3(h²+2k²)
---

[mathfreak]

tý schreef op 25-04-2003 @ 16:18:
waarom zou je een nieuwe variabele gaan introduceren (phi) ?
verder vind ik dat je zulke uitdrukkingen met sin/cos beter kunt vermijden om dat het soms lastig kan zijn vergelijkingen mee op te lossen

Daar heb je op zich wel gelijk in. Het was echter voor mij het meest voor de hand liggende om het zo te doen, maar jouw aanpak is inderdaad eleganter, vandaar dat ik mijn reply met betrekking tot de tophoek fi inmiddels heb verwijderd.

tý schreef op 25-04-2003 @ 16:18:
r, h en a vormen een rechthoekige driehoek, met a als schuine zijde, dus:
a² = r²+h² => a = sqrt(r²+h²)

opp. grondvlak = pi * r²
opp. mantel = pi * a² * (2*pi*r)/(2*pi*a) = pi * r * a

pi * k² = pi*r² + pi*r* a
k² = r² + r*a


k² = r² + r*a én a = sqrt(r²+h²) levert na substitutie op:

k² = r² + r*sqrt(r²+h²)
k² - r² = r*sqrt(r²+h²)

beide zijde kwadrateren:
(k² - r²)² = r² * (r²+h²)

haakjes wegwerken:
k⁴ - 2k²r² + r⁴ = r⁴ + r²h²
k⁴ - 2k²r² = r²h²
k⁴ = r²h² + 2k²r²

r² buiten haakjes halen:
k⁴ = r²(h² + 2k²)
r² = k⁴ / (h² + 2k²)


formule inhoud kegel:
I = (1/3) * pi * r² * h
I = (1/3) * k⁴ / (h²+2k²) * h


---
I = pi(k⁴* h) / 3(h²+2k²)
---

Ik heb de codetags maar even verwijderd, aangezien de tekst zoals die nu wordt weergegeven in jouw quote duidelijker (en ook prettiger) leesbaar is dan wanneer hij in code is weergegeven.