lin alg

[jbtq]

Voor de verandering heb ik binnenkort weer eens tentames, waaronder over het leuke vak lineare algebra. Mijn vraag, de eerste, gaat over de nul ruimte. Als ik het goed begrijp is de nul ruimte niet meer en niet minder dan de oplssing van een stelstel naar 0 bijvoorbeeld x1+5x2=0
2x1+9x2=0
Dus alle oplssingen zoeken die 0 geven zijn eigelijk de 0 ruimte??
En wat is nu het verschil tussen een homogeen stelsel en een inhomogeen stelsel?/

En nog een vraagje erbij. Als ik moet bewijzen dat b.v {[x,y,z]|x,y,z allemaal een element van R en x=2y+z } in R^3 dat het een deelruimte is. Hoe doe je dat? Ik weet wel de voorwaarde, en in dit geval klopt de voorwaarde dat nul de nulvector er ook in moet zitten, maar voornamelijk de andere twee eigenschappen, die begrijp ik niet.

Dus de eiegnschappen:
x is een elemement van w en labda als elemen t van R dan geld dat labda x een element van w is.

als x een element van w is en y is een element van w dan geld dat x+y ook in w zit


Alvast bedankt

[hofje]

gegeven:
V={[x,y,z]|x,y,z allemaal een element van R zdd x=2y+z}

te bewijzen: p, q in V => p+q in V
p in V => x_p = 2y_p + z_p
q in V => x_q = 2y_q + z_q
te bewijzen: p+q in V oftewel x_{p+q} = 2y_{p+q} + z_{p+q}
WELNU: x_{p+q} = x_p + x_q = 2y_p + z_p + 2y_q + z_q = 2y_p + 2y_q + z_p + z_q = 2y_{p+q} + z_{p+q} QED

te bewijzen: p in V, a in R => ap in V
p in V => x_p = 2y_p + z_p
te bewijzen: ap in V oftewel ax_p = a(2y_p + z_p)
en hier valt nauwelijks te spreken van een bewijs...

PS: je aanname over nulruimtes is waar, i.e. de nulruimte is idd de verzameling {x|Ax=0}. en dit is ook een lineaire ruimte
1. A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0 QED
1. A(ax)=Aax=aAx=a0=0 QED

[mathfreak]

jbtq schreef op 06-11-2003 @ 22:05:

En wat is nu het verschil tussen een homogeen stelsel en een inhomogeen stelsel?

Laat A*x=b de matrixvoorstelling van het stelsel zijn, dan is het stelsel homogeen als b de nulvector voorstelt, en inhomogeen als b ongelijk is aan de nulvector.

[jbtq]

mathfreak schreef op 07-11-2003 @ 20:29:
Laat A*x=b de matrixvoorstelling van het stelsel zijn, dan is het stelsel homogeen als b de nulvector voorstelt, en inhomogeen als b ongelijk is aan de nulvector.

Dat begreep ik al, maar, in dit geval zou je dus kunnen zeggen dat wanneer je een homogeen stelsel heb dat je dan de nul ruimte zoekt van een matrix cq vectoren. Klopt dat? En als ik het goed begrijp is de particuliere oplossing eigelijk een steun vector, en de oplossing met het homogeen stelsel een lijn bijvoorbeeld. Klopt dat iedee ongeveer??

[mathfreak]

jbtq schreef op 07-11-2003 @ 21:52:
Dat begreep ik al, maar, in dit geval zou je dus kunnen zeggen dat wanneer je een homogeen stelsel heb dat je dan de nul ruimte zoekt van een matrix cq vectoren. Klopt dat?

Dat klopt inderdaad.

jbtq schreef op 07-11-2003 @ 21:52:
En als ik het goed begrijp is de particuliere oplossing eigelijk een steun vector, en de oplossing met het homogeen stelsel een lijn bijvoorbeeld. Klopt dat idee ongeveer??

Dit laatste klopt niet helemaal. Laat r de rang van A en n het aantal lineaire vergelijkingen zijn, dan vind je bij een homogeen stelsel n-r lineair onafhankelijke oplossingen. Indien A een vierkante matrix is vind je de oplossingen van het stelsel met behulp van de regel van Cramer.

Met dat laatste ben ik het niet helemaal eens. De rang van een stelsel is het aantal elementen in de basis ervan. In de basis zitten alle onafhankelijke vectoren, de overige zijn afhankelijk van de basis. Laat r de rang zijn, n het aantal vergelijkingen, dan geeft n-r de nullity, de dimensie van de nulruimte, en dus het aantal _afhankelijke_ vergelijkingen.

Wietse

[mathfreak]

Bezoeker120392 schreef op 08-11-2003 @ 20:14:
Met dat laatste ben ik het niet helemaal eens. De rang van een stelsel is het aantal elementen in de basis ervan. In de basis zitten alle onafhankelijke vectoren, de overige zijn afhankelijk van de basis. Laat r de rang zijn, n het aantal vergelijkingen, dan geeft n-r de nullity, de dimensie van de nulruimte, en dus het aantal _afhankelijke_ vergelijkingen.

Wietse

Ik heb er zojuist even mijn Encyclopedic Dictionary of Mathematics op nageslagen, maar het gaat toch echt om n-r lineair onafhankelijke oplossingen.

mathfreak schreef op 08-11-2003 @ 20:32:
Ik heb er zojuist even mijn Encyclopedic Dictionary of Mathematics op nageslagen, maar het gaat toch echt om n-r lineair onafhankelijke oplossingen.

Hmm. Dat klopt. Er zit natuurlijk een verschil tussen het aantal onafhankelijke vergelijkingen in een stelsel en het aantal onafhankelijke oplossingen die voldoen aan Ax=0.

Mijn excuses,

Wietse

[mathfreak]

Bezoeker120392 schreef op 08-11-2003 @ 20:44:
Hmm. Dat klopt. Er zit natuurlijk een verschil tussen het aantal onafhankelijke vergelijkingen in een stelsel en het aantal onafhankelijke oplossingen die voldoen aan Ax=0.

Mijn excuses,

Wietse

En jij bent per vergissing van het aantal onafhankelijke vergelijkingen uitgegaan, neem ik aan. Ach iedereen kan zich wel eens vergissen.

[jbtq]

Alvast bedankt voor de uitleg. Ik heb nog vraagjes. Een spansel is opspansel van iets. Een voorbeeld. Als je heb uitgerekend wat de nul ruimte is, en daar uit komt dat die gegeven word door de vectoren r[-5,-2,1,0] en s[3,1,0,1]
Dat is dus een vlak. klopt het dan dat het opspansel eigelijk het vlak is dat alle antwoorden geeft? Dus eigelijk dat je hier twee onafhankelijke vectoren heb, en dat de rest van de oplossingen een combinatie zijn van deze twee? En zo ja, zo je dan ook bij een basis kunnen zeggen dat dat een opspansel is?/ Immers als je een basis heb gevonden van een matrix, zou je de andere vectoren in de basis als een lineare combinatie van de basis kunnen schrijven. En nog 1 vraagje. Echt de laatste. Je heb de afbeelding t:x-->vXx Waarin de grote X dus het uitproduct is. Nu moet je de kern van deze afbeelding geven. Ik snap dat het dus betekent dat vXx=o Maar volgens het antwoord is dit gelijk aan het inpprosuct van v en x maal sin(fi) en dat begrijp ik dus niet. hoe kan dat?

Alvast bedankt

[GinnyPig]

Het spansel van een verzameling A van n vectoren {x₁,...,x_n} is inderdaad de verzameling van alle vectoren die een lineaire combinatie zijn van de vectoren x₁ t/m x_n. Je kan inderdaad bijvoorbeeld spreken van een n-dimensionale ruimte, welke het opspansel is van n vectoren (welke dus een basis vormen).

Over je tweede vraag: Algemeen geldt dat v uit x (=vXx) gelijk is aan |v|*|x|*Sin[fi] (en nog maal de eenheidsvector loodrecht op v en x), waarbij fi de hoek is tussen de 2 vectoren. Er is dus geen sprake van een inproduct.

Voor het inproduct geldt juist: v.x = |v|*|x|*Cos[fi]