[??] Hoofdrekenen

Lieve allemaal,
Al mijn hele leven heb ik moeite met hoofdrekenen. Op de basisschool had ik een telraam waarmee ik de meeste sommen maken en ik ben heel bedreven met op mijn vingers tellen, maar bij getallen boven de twintig krijg ik problemen. Het is niet zo dat ik geen wiskundig inzicht heb, ik kan best met grafieken omgaan en zo, maar rekenen en tellen is echt een probleem. Ik kan getallen gewoon niet als waarde zien en word een beetje bang als iemand van me verwacht dat ik dat allemaal zomaar kan. Ik kan in principe alles op mijn rekenmachine doen, maar handig is het niet; als iemand me in een praktische situatie iets vraagt moet ik altijd erg lang nadenken. Ik zie getallen als woordwaardes, niet als getalswaardes. Als ik het visualiseer, zie ik bij alles boven de twintig alleen een grote hoop stenen voor me waar ik niks mee kan. Nu heb ik voor mezelf geprobeerd om te denken dat ik steentjes in bakjes leg en dat gaat al beter, maar het blijft moeilijk.
Heeft iemand enig idee wat ik kan doen om dit te verbeteren? Want het schiet natuurlijk niet op.
Ter informatie: ik zit in 4vwo met economie&maatschappij. Ik heb wiskunde A en dit lukt me wel, zolang als ik maar niet hoofd hoef te rekenen.
Liefs.

[DutchRH]

Heej, als het zo erg is als je zegt vind ik het knap dat je toch op vwo 4 zit ;p Heb je niet eens op school gevraagd aan je leraar ofso? Kan best zijn dat zij je hulp kunnen bieden om het te oefenen en zij wel een oplossing hebben...

Nouja, zo knap is het niet, we mogen alles doen op een rekenmachine :') maar ik heb het al gevraagd aan mijn wiskundeleraar. Hij zegt dat het komt omdat ik niet genoeg oefen. Sowieso heb ik een beetje een communicatieprobleem met hem.
Maar bedankt voor je reactie

[Em.]

Oefenen?

En zelf splits ik getallen altijd op, zeg maar. Dus eerst vul ik getal A aan tot het tiental erboven, en dan gooi ik de rest van getal B erop.

Dus bijvoorbeeld:

16 + 5
Dan doe ik 16 + 4, want dan heb je lekker twintig, en dan moet ik nog 5-4=1 erbij optellen.
Dan is de som dus ineens:
16 + 4 = 20
20 + 1 = 21

(Want of je nu in één keer 5 doet, of eerst 4 en dan 1 maakt geen zak uit.)

Of met wat een wat ingewikkelder som:

17 + 37
Dan denk ik, van 17 nog 3 tot twintig. Dus dan onthoud ik 20.
En dan denk ik 'goh, hoewel moet er dan ook al weer bij, van 17 tot 20, o ja, 3, dus die 3 heb ik al opgeteld, die hoeft niet meer. Dan heb ik nog 37-3 = 34 over, die ik wel nog moet optellen.' En dan doe ik 20 + 34 = 54

En met honderdtallen doe ik eerst tot het volgende tiental, dan tot het volgende hondertal, en dan de rest erbij. Dus bijvoorbeeld:

237 + 125

Dan denk ik, tot 240, hoeveel is dat? Oh 3. Dus dan heb ik nog 122 over.
En dan, van 240 tot 300? O ja, zestig.

Hoeveel heb ik dan nog over? Dat is 122 - 60.
En hoe los ik dat dan op? Ook opsplitsen! Maar in dit geval 'vergeten' we gewoon even de twee, en doen we: 120 - 60 (wat heel erg lijkt op 12-6) en dan weet je dat je nog zestig hebt. Maar! Plus twee, want die had je even weggediscrimineert. Dus dan heb je nog 62. En ondertussen had je van dat andere 300 gemaakt. 300 + 62 = 362


Zo ongeveer doe ik dat, zeg maar. Oh, en keersommen die splits ik ook (17 x 3 = 10 x 3 + 7 x 3).

Maar goed, dat dan allemaal wat sneller. Anders onthoud ik al die getallen ook niet. Al weet ik niet of dit wat helpt, misschien deed je het allang of heb je veel slimmere trucjes, maar goed. Vooral veel oefenen helpt, denk ik.

Je zal in stapjes moeten hoofdrekenen.

Bijvoorbeeld: 89-37 Dat zal je volgens je openingsbericht niet weten, maar dat weet ik zelf ook niet. Maar als je weet dat 89-37 hetzelfde is als 82-30, kom je dan verder? Misschien is het (VWO-5) een heel kinderachtige methode, maar hij werkt wel.

Hetzelfde geldt voor 12*15. Dat is hetzelfde als 6*30. Als je de hoofdrekenopgave eerst omzet in een makkelijke versie, zal het hoop ik makkelijker gaan.

[DutchRH]

Met 89-37 kun je trouwens ook gewoon van 37 optellen naar 89
37+3=40.......3
40+40=80....40
80+9=89.......9
52 dus

Maar hoe zie je dan in wat voor makkelijkere versie je het om moet zetten? Volgens mij is dat juist omslachtiger. Met optellen en aftrekken, (ik raak al in de war als ik probeer je gedachte te reconstrueren) maar zeker met vermenigvuldigen. Ik snap werkelijk niet waarom 12*15 hetzelfde is als 6*30. Ik geloof je op je woord en volgens mijn rekenmachine heb je ook gelijk, en een tijdje nadenken snap ik ook wel wat je doet (niet waarom het werkt) maar ik zou het niet zo zien dat vijftien dertig wordt als ik het keer twee doe.

DutchRH schreef:

Met 89-37 kun je trouwens ook gewoon van 37 optellen naar 89
37+3=40.......3
40+40=80....40
80+9=89.......9
52 dus

Ik snap hier echt totaal niks van. Sorry.

[DutchRH]

12*15 he
ik doe zelf eerst 10*15=150
en dan 2*15=30
150+30=180
http://www.momonix.com/calc/nl/
kijk hier anders even op

Em. schreef:

Oefenen?

En zelf splits ik getallen altijd op, zeg maar. Dus eerst vul ik getal A aan tot het tiental erboven, en dan gooi ik de rest van getal B erop.

Dus bijvoorbeeld:

16 + 5
Dan doe ik 16 + 4, want dan heb je lekker twintig, en dan moet ik nog 5-4=1 erbij optellen.
Dan is de som dus ineens:
16 + 4 = 20
20 + 1 = 21

(Want of je nu in één keer 5 doet, of eerst 4 en dan 1 maakt geen zak uit.)

Of met wat een wat ingewikkelder som:

17 + 37
Dan denk ik, van 17 nog 3 tot twintig. Dus dan onthoud ik 20.
En dan denk ik 'goh, hoewel moet er dan ook al weer bij, van 17 tot 20, o ja, 3, dus die 3 heb ik al opgeteld, die hoeft niet meer. Dan heb ik nog 37-3 = 34 over, die ik wel nog moet optellen.' En dan doe ik 20 + 34 = 54

En met honderdtallen doe ik eerst tot het volgende tiental, dan tot het volgende hondertal, en dan de rest erbij. Dus bijvoorbeeld:

237 + 125

Dan denk ik, tot 240, hoeveel is dat? Oh 3. Dus dan heb ik nog 122 over.
En dan, van 240 tot 300? O ja, zestig.

Hoeveel heb ik dan nog over? Dat is 122 - 60.
En hoe los ik dat dan op? Ook opsplitsen! Maar in dit geval 'vergeten' we gewoon even de twee, en doen we: 120 - 60 (wat heel erg lijkt op 12-6) en dan weet je dat je nog zestig hebt. Maar! Plus twee, want die had je even weggediscrimineert. Dus dan heb je nog 62. En ondertussen had je van dat andere 300 gemaakt. 300 + 62 = 362


Zo ongeveer doe ik dat, zeg maar. Oh, en keersommen die splits ik ook (17 x 3 = 10 x 3 + 7 x 3).

Maar goed, dat dan allemaal wat sneller. Anders onthoud ik al die getallen ook niet. Al weet ik niet of dit wat helpt, misschien deed je het allang of heb je veel slimmere trucjes, maar goed. Vooral veel oefenen helpt, denk ik.

Ja, dat van dat aanvullen is wat ik ongeveer bedoelde met bakken en stenen . Maar ik raak er erg van in de war, want ik onthoud de klank, niet de getalswaarde. En dan duurt het heel, heel, heel erg lang. En tegen de tijd dat ik heb uitgerekend hoe ver het is tot het volgende honderdtal, ben ik alweer vergeten wat het volgende getal is.
En oefenen, daar heb je natuurlijk gelijk in. Misschien sowieso maar vaker mijn rekenmachine uitlaten.
Is er misschien een soort overhoorprogramma dat automatisch sommetjes genereert of zo, voor hoofdrekenkneuzen zoals ik?

DutchRH schreef:

12*15 he
ik doe zelf eerst 10*15=150
en dan 2*15=30
150+30=180
http://www.momonix.com/calc/nl/
kijk hier anders even op

Oh, dank je voor die site

[Em.]

Etmakas schreef:

Maar hoe zie je dan in wat voor makkelijkere versie je het om moet zetten? Volgens mij is dat juist omslachtiger. Met optellen en aftrekken, (ik raak al in de war als ik probeer je gedachte te reconstrueren) maar zeker met vermenigvuldigen. Ik snap werkelijk niet waarom 12*15 hetzelfde is als 6*30. Ik geloof je op je woord en volgens mijn rekenmachine heb je ook gelijk, en een tijdje nadenken snap ik ook wel wat je doet (niet waarom het werkt) maar ik zou het niet zo zien dat vijftien dertig wordt als ik het keer twee doe.

Geloof mij, of ik je nu één keer twee koekjes geef
of twee keer één koekje.

Je houdt toch wel twee koekjes.

Even denken of ik het ook anders uit kan leggen.

Spoiler

Stel:

12 x 5

Is ook: 2 x 6 x 5

Snap je dat? Want 2 x 6 = 12. En of je nu 12 x 5 doet, of 2 x 6 x 5. Twee maal zes, ís twaalf, dus eigenlijk staat bij alletwee dat je gewoon twaalf keer vijf doet.

Maar! 2 x 6 x 5, is óók twee keer (las hier een pauze in) 6 x 5. En 6 x 5 = 30! Dus 12 x 5 is ook weer 2 x 30!

Oftewel:
12 x 5
=
2 x 6 x 5 (want 2 x 6 is gewoon twaalf! dus er staat hetzelfde!)
=
2 x (6 x 5)
=
2 x (30) (want 6x5 is 30)

Dus je kan het zomaar veranderen.

Die uitleg onder de spoiler vond ik toch minder. Ik probeer het even net wat anders!

12 x 15

Oké.

Stel je voor. Je hebt één eenheid (of dat nou tien of twintig is of driehonderdvijf, zie het als één groep) die maak je twee keer zo groot....

wat heb je nu? Twee keer die eenheid! Twee keer zoveel!

... en nu doe je nog iets! Je maakt het tweer keer zo kléin!

Oftewel, je had hoeveelheid A, je maakte het twee keer zo groot (2A) en dan weer 2x zo klein... dan heb je dus weer A!

En dat is precies wat je doet als je van 12 x 15 maakt 6 x 30

Je maakt 12 namelijk twee keer zo klein... en 15 twee keer zo groot!

Je zou het ook zo kunnen schrijven:

0,5 x 12 x 15 x 2

Want: 0,5 keer iets is delen door twee, half zo klein maken.
En de som klopt nog steeds, want als je eerst iets twee keer zo klein maakt, en dan twee keer zo groot, je houdt toch hetzelfde.

Nu zijn er twéé manieren om naar deze som (0,5 x 12 x 15 x 2) te kijken.

Manier 1:

je kan de volgorde van de dingen die vermeningvuldigt gewoon verander. Vijf keer zes koekjes is evenveel koekjes als zes keer vijf koekjes.

Dus deze som kan je ook schrijven als:

2 x 0,5 x 12 x 15
en 2 x 0,5 is gewoon 1
1 x 12 x 15
Oftewel, je hebt 12 x 15, en dat één keer, dus je hebt gewoon 12 x 15.
(Dat was het deel dat bewees dat 2 x 12 x 15 x 2 gewoon hetzelfde is als 12 x 15)

En nu manier 2!

0,5 x 12 x 15 x 2
Eerst doe je 0,5 x 12 = 6
Dan doe je 15 x 2 = 30
(het maakt ook werkelijk geen ruk uit in welke volgorde je het vermeningvuldigt, aangezien je getallen ook gewoon om kan draaien, zolang je het maar vermeningvuldigt.)

En 6 x 30... nou ja, daar zijn we! 12 x 15 = 6 x 30

(Oftewel:

12 x 15
=
12 x 15 x 1
=
12 x 15 x 0,5 x 2
=
0,5 x 12 x 15 x 2
=
(0,5 x 12) x (15 x 2)
=
6 x 30



Maar het moraal van het verhaal is gewoon:

A maal B = (x maal A) maal (B gedeelt door x)

In mensentaal: je kan A gewoon heel veel groter maken, zoveel als je wilt, als je B maar net zoveel keer kleiner maakt. Want als je eerst iets *zoveel keer* groter maakt en dan weer *precies zoveel keer* kleiner, dan is het gewoon hetzelfde!

[Hanneke]

Etmakas schreef:

vermenigvuldigen. Ik snap werkelijk niet waarom 12*15 hetzelfde is als 6*30.

Omdat 12*15 = (2*2*3)*(2*5) en 6*30 = (2*3)*(2*2*5), ontbinden in priemgetallen. Maakt het rekenen niet makkelijker, maar is wel waarom het 't zelfde is.

ik kan me totaal terugvinden in jouw verhaal. wiskunden is geen probleem, maar hoofdrekenen waarbij je een tiental overschrijdt is een probleem. optellen vind ik ook gemakkelijker dan aftrekken. als ik het op papier zie staan, dan lukt het nog wel. mondeling is een ramp. het heeft me echter niet belet een universitair diploma te behalen in economie. telefoonnummers onthoud ik op klank. ik zie ze voor mij als noten op een notenbalk. waarvan 0 de eerste noot is. zo zie ik altijd wel een "systeem".

een tip aan iedereen die snel wil weten hoe je x 15 doet: maal 10 + de helft van je uitkomst. ( voor mij is dit een eenvoudige manier).

12 x 15
--> 12 x 10 = 120
+ de helft van 120 = 60
= 180

groetjes

[Scholier]

Misschien helpt dit je:
3
5
8

Met een groter getal kan ik het makkelijker uitleggen:

1232
567
1799

Dus eerst 1000, dan 2+5=7 --> 1700
Dan 3+6=9 --> 1790
Dan 2+7=9 --> 1799

Hopelijk helpt deze manier.

[Em.]

topnieuws schreef:

Misschien helpt dit je:
3
5
8

Met een groter getal kan ik het makkelijker uitleggen:

1232
567
1799

Dus eerst 1000, dan 2+5=7 --> 1700
Dan 3+6=9 --> 1790
Dan 2+7=9 --> 1799

Hopelijk helpt deze manier.

Maar dat is niet echt handig met hoofdreken, toch? Tenminste, zo kan ik niet hoofdreken. Op papier is dat wel snel en simpel en zo.

[mathfreak]

Laten we eens proberen om 1232+567 op de gewone manier uit te rekenen. 1232 = 1000+200+30+2
en 567 = 500+60+7, dus 1232+567 = 1000+200+30+2+500+60+7 = 1000+200+500+30+60+2+7
= 1000+700+90+9 = 1799. Merk op dat we hier gebruik maken van het gegeven dat het door ons gebruikte decimale stelsel eenn positiestelsel is. Uitgaande van het gegeven dat 12+5 = 17, 3+6 = 9 en 2+7 = 9 zie je trouwens meteen dat 1232+567 = 1799.
Nu berekenen we 1232-567. We weten al dat 1232 = 1000+200+30+2 en 567 = 500+60+7,
dus 1232-567 = 1000+200+30+2-(500+60+7) = 1000+200-500+30-60+2-7 = 1000-300-30-5 = 700-30-5 = 670-5
= 665. Uitgaande van het gegeven dat 12-5 = 7 zie je trouwens meteen dat 1232-567 = 1232-500-60-7 = 732-60-7 = 672-7 = 665.

[arPos]

Jouw probleem, en die van de meeste slechte rekenaars is dat je het probeert te visaliseren.

rekenen (en wiskunde ook in mate) is de stappen volgen tot je het eindproduct hebt.
In tegenstelling tot visualiseren waar je het eindproduct wil zien om het vervolgens in afzondelijke delen te splitsen.

[ILUsion]

Claudia H schreef:

ik kan me totaal terugvinden in jouw verhaal. wiskunden is geen probleem, maar hoofdrekenen waarbij je een tiental overschrijdt is een probleem. optellen vind ik ook gemakkelijker dan aftrekken. als ik het op papier zie staan, dan lukt het nog wel. mondeling is een ramp. het heeft me echter niet belet een universitair diploma te behalen in economie. telefoonnummers onthoud ik op klank. ik zie ze voor mij als noten op een notenbalk. waarvan 0 de eerste noot is. zo zie ik altijd wel een "systeem".

een tip aan iedereen die snel wil weten hoe je x 15 doet: maal 10 + de helft van je uitkomst. ( voor mij is dit een eenvoudige manier).

12 x 15
--> 12 x 10 = 120
+ de helft van 120 = 60
= 180

groetjes

Aftrekken is nu eenmaal iets moeilijker dan optellen, dat is voor de meeste mensen zo. Ik denk dat dat komt omdat je eerst leert optellen en aftrekken is de omgekeerde weg waarop je iets minder getraind wordt.

Etmakas schreef:

Nouja, zo knap is het niet, we mogen alles doen op een rekenmachine :') maar ik heb het al gevraagd aan mijn wiskundeleraar. Hij zegt dat het komt omdat ik niet genoeg oefen. Sowieso heb ik een beetje een communicatieprobleem met hem.
Maar bedankt voor je reactie

Niets doen met een rekenmachine tenzij het echt op tijd aankomt (bv. op je examen); in het begin gaat het veel trager maar op termijn lukt het wel goed, hoor.

Overigens is het in mijn ogen een goedkope oplossing om het te steken op "ik heb een communicatieprobleem met hem" als je niet goed kan tellen. Als je niet goed kan tellen, moet je er zelf iets aan doen; je kan aan hem raad vragen (en zijn raad is impliciet "oefen meer"), dat is zijn fout niet, veronderstel ik (tenzij je nu al je vrije uren al spendeert aan hoofdrekenen).

Zelf zou ik aanraden om deel te nemen aan BeterRekenen. Daarop krijg je elke dag nieuwe opgaves; op 2 minuten gemaakt, maar het helpt wel wat. Een heel groot deel van wiskunde is gewenning: oefening baart kunst. Als je veel rekent, zal je merken dat de oplossingen veel sneller komen. Want bij bepaalde sommen bv. 2 tot de macht 10 moet je heel lang nadenken als je geen ervaring hebt; maar als je dergelijke dingen vaker tegenkomt, zie je op het zicht dat dat 1024 is. In plaats van te rekenen zit dat dan in je geheugen opgeslagen, je ziet meer verbanden tussen nummers en dat is waar hoofdrekenen volgens mij op neerkomt.

Daarnaast: hoofdrekenen is lichtjes overrated. Het onderwijs zou mensen beter leren om af te schatten. 567 * 123 is meer dan 66 000 (500 * 120 + 60 * 100), maar dat het exact 69 741 is, doet er in veel gevallen niet toe (en als het er wel toe doet, neem je er een rekenmachine bij). Als ingenieursstudent kan ik je zeggen: exacte getallen zijn wel leuk, maar voor dagdagelijks gebruik hoef je vooral een goede schatting te maken. Veel leerkrachten hebben spijtiggenoeg niet dezelfde achtergrond en staren zich dood op de exacte uitkomst, die in heel wat gevallen wel belangrijk is; maar in mijn ogen vaak overkill. Als je kan inschatten wat het totaalbedrag is van je aankopen in de winkel, is dat genoeg. Of je nu 205 euro betaalt of 210, dat maakt relatief weinig uit, maar als je aankomt en het is plots 350 euro, moet je je toch vragen beginnen stellen.

[Scholier]

Em. schreef:

Maar dat is niet echt handig met hoofdreken, toch? Tenminste, zo kan ik niet hoofdreken. Op papier is dat wel snel en simpel en zo.

O, als het echt hoofdrekenen betreft...
Maar bij bijv. een Proefwerk waar je geen rekenmachine mag gebruiken is dit wel handig!

[veer2110]

arPos schreef:

Jouw probleem, en die van de meeste slechte rekenaars is dat je het probeert te visaliseren.

rekenen (en wiskunde ook in mate) is de stappen volgen tot je het eindproduct hebt.
In tegenstelling tot visualiseren waar je het eindproduct wil zien om het vervolgens in afzondelijke delen te splitsen.

ben ik mee eens, alleen zie ik het me ook visueel voor. wat ook een nadeel kan zijn.

ik doe bijv bij 57 + 25:

50 + 20 = 70
7 +5 = 12
70 + 12 = 82.

bij vermedigvuldigingen doe ik het net als DutchRH:

14 x 90 :
10 x 90 = 900
+
4 x 90 = 360
900 + 360 = 1260

als 4 x 90 te moeilijk is, maak dan van 90 een 9, zodat het wordt:
4 x 9

die zou je moeten kunnen

dan vermedigvuldigen met 10/nul erachter plakken/komma één plek naar rechts verplaatsen en dan heb je hem ook.

[the economist]

Wat ook wel handig is:
12 x 15 zag ik hierboven
de ene factor x2, de andere : 2
Dus 12 x 15 = 6 * 30.
En 6x3 ken je wel, dat dan met een nul erachter.

[Scholier]

Bedenk gewoon sommetjes (of haal ze van internet) en maak elke dag bijv. 10/20 sommetjes.
En dan doe je er bijv. 2 minuten over (ik noem maar wat).

Na een week doe je er dan bijv. 1 1/2 minuut over.

--> Oefenen baart kunst!

Gewoon oefenen, dat kan wel op internet lijkt me.

[Scholier]

Kazet Nagorra schreef:

Gewoon oefenen, dat kan wel op internet lijkt me.

Dat zei ik ook al ja!