Vergelijking X^3 oplossen

[Beunhaas]

Okay voor mij is het lang geleden dat ik nog wist hoe het moest maar hoe los ik dit op.

10 = x^3 - 11 x^2 + 4

ik kom nog op

0 = x^3 - 11 x^2 - 6

en ik weet het antwoord ook wel (rekenmachine)

Maar wat zijn de stappen om dit op te lossen

[Silent Enigma]

kan het wel zonder computer?

[bulbanos]

x is in dat geval nooit een reëel getal

[Beunhaas]

Nah het moet toch gewoon op telossen zijn...?????

[Alberto]

Beunhaas schreef:
Nah het moet toch gewoon op telossen zijn...?????

Ja dat kan. De eerste stap is om de vergelijking in de vorm te schrijven:
a*x^3 + bx + c = 0. Dus bedenk eerst een slimme substitutie zodat de kwadratische term eruit valt.

[mayonaise]

Beunhaas schreef:
Okay voor mij is het lang geleden dat ik nog wist hoe het moest maar hoe los ik dit op.

10 = x^3 - 11 x^2 + 4

ik kom nog op

0 = x^3 - 11 x^2 - 6

en ik weet het antwoord ook wel (rekenmachine)

Maar wat zijn de stappen om dit op te lossen

10 = x^3 - 11 x^2 + 4
6=x^3 - 11^2
6=x^2*(x-11)

zoiets ??

[cmoi]

Stel:

(x - a)(x - b)(x - c) = 0
dan haakjes wegwerken e.d.;
uiteindelijk wordt het dan:
x^3 - (a + b + c)x^2 + (ac + ac + bc)x - abc = 0

Dan krijg je een stelsel vergelijkingen wat denk ik wel op te lossen is.

a + b + c = 11
ab + ac + bc = 0
abc = 6

[DrPain]

mayonaise schreef:
10 = x^3 - 11 x^2 + 4
6=x^3 - 11^2
6=x^2*(x-11)

zoiets ??

Dit mag dus niet, je moet aan 1 kant 0 hebben, omdat je aan beide kanten deelt (dus dingen binnen haakjes zet)

poeh poeh, dat is al weer een tijdje geleden, maar das toch niet zo moeilijk?tenminste dat kan ik me herinderen

[Beunhaas]

Heel leuk allemaal maar het antwoord heb ik er nog niet tussen zien staan....

En zover als de meeste hier kom ik ook alleen de laatste stappen

[DrPain]

Princess schreef:
poeh poeh, dat is al weer een tijdje geleden, maar das toch niet zo moeilijk?tenminste dat kan ik me herinderen

Omdat ze het op middelbare school altijd zo makkelijk zijn dat je meestal wel kan zien welke je binnen haakjes kan halen. Ze zijn meestal op papier niet op te lossen...

[Beunhaas]

en weetje wat nou balen is... Deze vergelijking komt uit een Wiskunde A boek.

En na mijn jaren studie in Wiskunde B vond dat ik het wel zou moeten kunnen. Maar het viel vies tegen Ook zou het kunnen dat het boek gewoon een fout heeft gemaakt en dat deze vergelijking gewoon niet is uit te kleden.

[fifieken]

zo moeilijk ist nu ook niet e, khoop dat ik niet te laat ben en dat ik het hier niet voor niets neerschrijf..

gewoon je een van je nulpunten zoeken met de tabel van Horner, dan bekon je iets van de vorm: (x-?) (?x^2+?x+?)
hieruit kan je dan gemakkelijk je nulpunten halen telkes 1 van de 2termen gelijkstellen aan 0 (het 2de met discriminant e...)
en dan heb je het e..

kusjes
van een wiskunde freak

[bulbanos]

Beunhaas schreef:
[B...
en dat deze vergelijking gewoon niet is uit te kleden.[/B]

dat zei ik al een paar dagen geleden...

[Xerras]

Maar het antwoord:
10 = x^3 - 11 x^2 + 4 voor Geenenkele X in R is ook een antwoord

[Alberto]

Elke derde graadsvergelijking heeft nulpunten op R. (splijt over R)

[Alberto]

Tenminste 1, in elk geval.

[DrPain]

fifieken schreef:
gewoon je een van je nulpunten zoeken met de tabel van Horner, dan bekon je iets van de vorm: (x-?) (?x^2+?x+?)

Probeer jij het eens...

Xerras schreef:
Maar het antwoord:
10 = x^3 - 11 x^2 + 4 voor Geenenkele X in R is ook een antwoord

Tuurlijk wel... Elke oneven graadsvergelijking heeft een oneindig limiet en domein. Dus moet minimaal 1 snijpunt hebben.

Beunhaas schreef:
en weetje wat nou balen is... Deze vergelijking komt uit een Wiskunde A boek.

is er dan geen antwoordenboek??????

[hoeaap]

Je kunt het proberen met de formule van Cardano, je moet dan eerst de formule herleiden tot de vorm ax^3 + bx = c. Als deze methode een complex antwoord geeft (casus irreducibilis heet dat) heb je een andere manier nodig, want dan heb je ook meer dan één antwoord (bij een derdegraads heb je minstens één, hooguit drie oplossing).

Dit onderwerp is al een aantal keer aan bod geweest op dit forum, misschien dat je hem nog terug kunt vinden in het verleden.

Suc6,

Hoeaap

[Sithan]

Dacht dat het zoiets misschien moet zijn...

10=x^3-11x^2+4
0=x^3-11x^2-6
0=x^2(x-11)-6
X^2-6=0 V x-11=0
x=wortel(6) V x=-wortel(6)V x=11

Weet anders echt nie hoe die op te lossen is... aaaaaah ik snap er geen zak meer van!

[Dit bericht is aangepast door Sithan (08-10-2001).]

[Beunhaas]

met het antwoord x=11 zit je heel dicht bij... ongeveer 0,05 ernaast...

Tenminste in het antwoorden boek en op mijn rekenmachine staat x=11.05

[hoeaap]

dat klopt. Om het exact te berekenen voldoet de formule van Cardano in dit geval, hij heeft maar één oplossing. Bovenstaande manier van Sithan is zeer fout. Ik heb 'm inmiddels opgelost (leuk vraagstukje, aardig wat schrijfwerk), zal morgen de oplossing ff posten.

hoeaap

[hoeaap]

x^3 –11x^2 =6

Alberto had het al over een handige sustitutie waarmee de kwadraat wegvalt.
Bij een vergelijking ax^3 +bx^2+cx=d moet je dan altijd de x vervangen door (x-(b/3a)).
In dit geval vervangen we x door (y+11/3).
Na een hoop buiten haakjes halen, wegstrepen, optellen en aftrekken krijg je dan
y^3 – 40 1/3 y = 2824/27

Dit is een vergelijking van de vorm y^3 + py = q.
Voor de formule van Cardano geldt dan:

y = derdemachtswortel( wortel((q/2)^2 +(p/3)^3) + q/2) - derdemachtswortel( wortel((q/2)^2 +(p/3)^3) - q/2)

Nou dat ziet er heel ingewikkeld uit. Je moet nu dus op de plaats van p en q respectievelijk –40 1/3 en 2824/27 invullen.

Je komt dan na een hoop vereenvoudigen uit op het volgende antwoord:
y= (derdemachtswortel(9*wortel(2743) +1412) - derdemachtswortel(9*wortel(2743) -1412))/3
en omdat gold dat x= y+11/3 is
x = (derdemachtswortel(9*wortel(2743) +1412) - derdemachtswortel(9*wortel(2743) -1412) +11)/3
wat neerkomt op een waarde, net even iets minder dan 11,05.

Zo een beetje duidelijk???

Groeten,

Hoeaap

[hoeaap]

hmmm zo ziet het er wel vaag uit... Als het zo te slecht te lezen is moet je het maar even normaal uitschrijven.

Hoeaap

[Yamcha]

-

Beunhaas schreef:
Okay voor mij is het lang geleden dat ik nog wist hoe het moest maar hoe los ik dit op.

10 = x^3 - 11 x^2 + 4

ik kom nog op

0 = x^3 - 11 x^2 - 6

en ik weet het antwoord ook wel (rekenmachine)

Maar wat zijn de stappen om dit op te lossen

x^3-11x^2+4=10
x^3-11x^2-6=0
substitueer x^2 tot p
dan wordt het : p^2-11p-6=0
abc- formule toepassen
de discriminant wordt dan -11^2-4.1.-6=98
de antwoorden worden dan
p= (11+wortel98):2.-11 of
p= (11-wortel98):2.-11
die antwoorden zijn dus gelijk aan x^2 want die was gesubstitueert tot p
dus moet van die antwoorden nog de wortel genomen worden.
voila vergelijking is opgelost.

[GinnyPig]

Yamcha schreef:
- x^3-11x^2+4=10
x^3-11x^2-6=0
substitueer x^2 tot p
dan wordt het : p^2-11p-6=0
abc- formule toepassen
de discriminant wordt dan -11^2-4.1.-6=98
de antwoorden worden dan
p= (11+wortel98):2.-11 of
p= (11-wortel98):2.-11
die antwoorden zijn dus gelijk aan x^2 want die was gesubstitueert tot p
dus moet van die antwoorden nog de wortel genomen worden.
voila vergelijking is opgelost.

Als x^2 = p
dan is p^2 = (x^2)^2 = x^4 en niet x^3

[Yamcha]

GinnyPig schreef:
Als x^2 = p
dan is p^2 = (x^2)^2 = x^4 en niet x^3

volgens mij klopt het wel

[hoeaap]

nee joh.

(x^2)^2=x^(2*2)=x^4

x = (derdemachtswortel(9*wortel(2743) +1412) - derdemachtswortel(9*wortel(2743) -1412) +11)/3,

zie m'n entry hierboven. In dit geval is het niet op te lossen door met een dergelijke p te werken, maar eigenlijk alleen door de formule van Cardano te gebruiken.

Bovendien komen er met de manier van Yamcha 2 (foute) antwoorden uit, terwijl we eerder al zagen dat er slechts één oplossing is, namelijk iets rond de 11,05. Dit is ook wat je krijgt met die x = (derdemachtswortel(9*wortel(2743) +1412) - derdemachtswortel(9*wortel(2743) -1412) +11)/3.

Hoeaap

[Alberto]

Ik zou bijna voorstellen de Topic te closen voor er nog meer foute antwoorden komen. Er staat al een duidelijk antwoord op, namelijk dat van Hoeaap.

Misschien is het leerzaam voor Beunhaas om de formule van Cardano eens zelf af te leiden. Dan zie je waar de ietwat gecompliceerde formule vandaan komt en is hij ook gemakkelijker te onthouden.

Na de kwadratische term weg te hebben gewerkt heb je een vergelijking van de vorm y^3 = py + q. Doe de substitutie y = u+v en stel je p = 3uv. Nu kun je de vergelijking oplossen voor u en v en dus y en dus x berekenen.