functie

hoe werk je bij deze de haakjes snel weg

(x^2 -1 ) ^5 als je dat allemaal moet uitschrijven is toch heel veel werk, of is daar een trucje voor, en hoe zie je hieraan de nulpunten van de functie?

dankjewel

[Ray]

x tot de macht 2-1 is gewoon x tot de macht 1 en dus gewoon x.
Antwoord is dus x tot de macht 5.

Edit: OH wacht je bedoelt waarschijnlijk( x tot de macht 2 en dan dat zootje -1 ) tot de macht 5. Hm ik ben hier te nietwakker voor.

[Rob]

Je kunt met de binomiaal theorie vergelijkingen in de vorm van (a + b)ⁿ gemakkelijk en snel uitschrijven.

(x² - 1)⁵

Eerste term is x¹⁰ * 1⁰
De coëfficient van de tweede term is 1 (huidige coëfficient van x) * 10 (huidige exponent van x) / term nummer (1) = 10. De coëfficient van x neemt neemt af met de hoeveelheid van de originele exponent en die van 1 neemt 1 toe (omdat de originele exponent 1 is), dus we krijgen als tweede term 10x⁸ * 1¹

De coëfficient van de derde term is dus 10 * 8 / 2 = 40. De derde term is dus 40x⁶ * 1²

De coëfficient van de vierde term is 40*8 / 3 = 80
Vierde term: 80x⁴ * 1³

De coëfficient van de vijfde is 80*4 / 4 = 80
80x² * 1⁴

De vijfde: 80 * 2 / 4 = 40
40x⁰ * 1⁵

En de zesde: 40 * 0 / 5 = 0
0 * 1⁶


Dus, uitgeschreven is jouw vergelijking als volgt:

x¹⁰ - 10x⁸ - 40x⁶ - 80x⁴ - 80x² - 40 - 0

en dan zou je uit moeten vogelen voor welke x x¹⁰ - 10x⁸ - 40x⁶ - 80x⁴ - 80x² gelijk is aan 40.



als ik het goed heb. Binomiaal theorie is alweer eventjes geleden.

[WelVrolijk]

Dit gaat het makkelijkst met de driehoek van Pascal:

            1
          1   1
        1   2   1
      1   3   3   1
    1   4   5   4   1
  1   5  10  10   5   1
.........................

Daarmee kan je afleiden dat
(a - b)⁵ = a⁵ - 5a⁴b + 10 a³b² - 10a²b³ + 5ab⁴ - b⁵

En dus moet
((x²) - 1)⁵ = (x²)⁵ - 5(x²)⁴1 + 10 (x²)³1² - 10(x²)²1³ + 5(x²)1⁴ - 1⁵

Dan tenslotte nog even de machten van 1 en x² uitwerken.

[Rob]

Ik dacht al dat ik er naast zat omdat mijn resultaat niet symmetrisch was. Waar ging ik fout?

[ILUsion]

floortj schreef op 18-01-2007 @ 23:31 :
hoe werk je bij deze de haakjes snel weg

(x^2 -1 ) ^5 als je dat allemaal moet uitschrijven is toch heel veel werk, of is daar een trucje voor, en hoe zie je hieraan de nulpunten van de functie?

dankjewel

Om de haakjes hieruit te krijgen, moet je het Binomium van Newton toepassen, hierboven wordt dat al gedaan via de driehoek van Pascal (dat steunt op exact hetzelfde).

Maar om de nulpunten hiervan te bepalen is het niet zo moeilijk:
(x[sup]2[/sup$ -1)⁵ = (x[sup]2[/sup$ -1)(x[sup]2[/sup$ -1)(x[sup]2[/sup$ -1)(x[sup]2[/sup$ -1)(x[sup]2[/sup$ -1)

In een product kan je makkelijk de nulpunten bepalen, je stelt het geheel gelijk aan 0, en dat is het geval als een van de factoren gelijk is aan 0; vermits je hier 5 identieke factoren (x[sup]2[/sup$ -1) hebt, heb je nulpunten op de nulpunten van (x[sup]2[/sup$ -1). Van een tweedegraadsfunctie bepaal je de nulpunten via de discriminant en ABC-formule:
D= b² - 4ac en de nulpunten als
(-b+/- sqrt(D)°/2a (met sqrt = wortel en +/- is eenmaal met +, de tweede maal -). In dit geval zie je direct dat (x[sup]2[/sup$ -1) = (x+1)(x-1), daarvan zin de nulpunten dus respectievelijk x= -1 en x=+1 en bijgevolg van de totale functie zijn dat ook de nulpunten.

Voor het bepalen van nulpunten van een veeltermfunctie heeft het dus niet veel zin om alles te gaan uitwerken tot een som, je moet juist het omgekeerde doen en proberen alles als een product te schrijven van eentermen en tweetermen, daarvan kan je makkelijk de nulpunten bepalen.

(Als je ooit met complexe veeltermen moet werken, kan je het zelfs allemaal uitwerken tot eentermen, bij reële veeltermen kan dit niet altijd, maar wel tot tweetemen en eentermen).