linear algebra

[jbtq]

Ik ben bezig om te bewijzen dat de "nullity" [ engels begrip, kan niet zomaar 1,2,3 het nederlands begrip er voor verzinnen, maar het komt er op neer dat het om de niet pivot variabelen gaat] van een n*n matrix A gelijk is aan de getransporneerde van A
Ik dacht zelf aan dat je dus ook kan bewijzen dat het aantal pivot variabelen gelijk blijft. Immers er geld: rangA+nullity A=N
N blijft gelijk, en alleen die twee daar binnen kunnen e.v.t varieren. Maar als de rang gelijk blijft, blijft ook nullity A gelijk.
Het bewijs dat ik in gedachte had, is dat je de matrix A met Gausse en Jordan reductie bewerkt zodat je alleen maar de hoofddiagonaal overhoud waar de pivots in staan [ e.v.t plekken die leeg zijn waar geen pivot in staat]. Waarbij de rest alleen nullen zijn. Bijvoorbeeld:

100 000
040 020
003 of 004

Hiervan kan je zeggen dat wanneer je de getransporneerde neemt er niks veranderd en de rang dus ook niet. En dus ook niet de nullity van A. Immers N veranderd ook niet. is dit een goed bewijs? Ik zou het ook kunnen doen door te bewijzen dat de rij en kolom rang hetzelfde zijn, alleen dat vind ik moeilijker.

Een anders iets dat ik moet bewijzen is, is dat wanneer je (A)=m*n matrix heb en een (B) n*1 matrix. (A)x=(B) heeft nu alleen maar een oplossing als de rang van ( A)= rang van (a|b).
Mijn lijkt het dat je a weer helemaal gaat reduceren [ gausse en jordan]. Wanneer er blijkt dat: rang(a)<Rang (a|b) heb je een tegenstrijdig stelsel. Immers een hele rij van A bestaat uit 00000 en a|b uit 00001 [De laaste B] en die klopt niet. En rang(a)>rang(a|b) kan nooit, immers je kan niet zomaar een pivot laten verdwijen, dus moet het gelijk zijn voor een oplossing.

Klopt dit?? Ik vraag me af of je elke matrix zo kan reduceren dat je alleen een hoofd diagonaal overhoud. En klopt mijn vedere redenering??

Alvast bedabkt


[zucht...wat een lap tekst]

[titani^m]

Nullity = Nulruimte

[mathfreak]

titani^m schreef op 19-10-2003 @ 12:00:
Nullity = Nulruimte

De nulliteit is de dimensie van de nulruimte, en niet de nulruimte zelf.