Bewijs met volledige inductie...

[Joël]

Hoi,

Ik ben sinds kort weer een beetje met wiskunde bezig, en ik vroeg me af of er iemand is die de volgende forumule kan bewijzen.

SIGMA_k=0ⁿ{(-1)^k * n!/k!(n-k)!} = 0

Weet iemand hoe 't moet?

Alvast bedankt,

Joël.

[blablalou]

hallo j...l,

Moet 't met VI of mag dit ook...

(a+b)^n = SOM{k=0->n} (n over k) x a^(n-k) x b^k
neem a=1 en b=-1 dan ontstaat
0 = SOM{k=0->n}(n over k) 1^(n-k) (-1)^k = jouw vorm!

Voor n = oneven kan de truc van de 9-jarige Gauss gebruikt worden:
t[0] + t[n] = 0; t[1] + t[n-1] = 0 etc.

[mathfreak]

Joël schreef op 12-09-2004 @ 20:45 :
Hoi,

Ik ben sinds kort weer een beetje met wiskunde bezig, en ik vroeg me af of er iemand is die de volgende forumule kan bewijzen.

SIGMA_k=0ⁿ{(-1)^k * n!/k!(n-k)!} = 0

Weet iemand hoe 't moet?

Alvast bedankt,

Joël.

In dit geval moet je de stelling bewijzen voor alle natuurlijke getallen k. Dat doe je als volgt:
- toon eerst aan dat de stelling juist is voor k=0. Dit is de
gemakkelijkste stap.
-veronderstel dat de stelling juist is voor een gegeven k (dit
noemen we de inductiehypothese) en bewijs nu dat de stelling
ook juist is voor k+1. Dit bewijs wordt de inductiestap genoemd.
-uit de juistheid voor k=0 en uit het bewijs dat de stelling, als
deze voor k geldt, ook geldt voor k+1, volgt nu dat de stelling
voor alle natuurlijke getallen k waar is, waarmee de stelling is
bewezen.