[wis]2 integraaltjes

1/[sqrt(2+t⁴)]

heeft volgens mij als uitkomst:
ln [abs]([sqrt(2+t⁴)])*1/4t³



ebn hoe kan je: x/1+x⁴ met een substitutie doen?

[TD]

ebn hoe kan je: x/1+x⁴ met een substitutie doen? [/B]

Ik vermoed dat je x/(1+x⁴) bedoelt.

In dat geval kan je inderdaad substitutie gebruiken.

Stel x² = t
<=> 2x dx = dt

1/2 INT 2x/(1+x⁴) dx

= (1/2)*INT 1/(1+t²) dt
= (1/2)*ATN(t) +C
= [ATN(x²)]/2 +C

[GinnyPig]

Die eerste levert iig geen nette primitieve op (in ieder geval niet de primitieve die jij hebt gevonden).

Die 2e -> zie TDH

[TD]

Als ik die eerste met Mathematica integreer krijg ik enkel een ingewikkelde complexe uitkomst.

[DMC]

TDH schreef op 26-10-2004 @ 20:21 :
Als ik die eerste met Mathematica integreer krijg ik enkel een ingewikkelde complexe uitkomst.

Ja, ik met Maple
1/4*2^(1/2)*(4-2*I*2^(1/2)*t^2)^(1/2)*(4+2*I*2^(1/2)*t^2)^(1/2)*EllipticF(1/2*t*2^(1/2)*(I*2^(1/2))^(1/2), I)/((I*2^(1/2))^(1/2)*(2+t^4)^(1/2))

[TD]

Bij mij ziet het er gedeeltelijk anders uit, tenzij het na uitwerking hetzelfde zou geven (maar zin om dat te controleren heb ik niet )

Ik heb het maar in een image gezet, is denk ik stukken duidelijker zo.


(+een constante natuurlijk)

[GinnyPig]

Of je gebruikt natuurlijk de Integrator

(geeft hetzelfde overigens )

[TD]

GinnyPig schreef op 26-10-2004 @ 22:06 :
Of je gebruikt natuurlijk de Integrator

(geeft hetzelfde overigens )

Nogal logisch, is (net zoals Mathematica) van Wolfram

In elk geval lijkt de oplossing me weinig zinvol, of toch in elk geval erg abstract met die imaginaire elementen en 'EllipticF'

Ok bedankt,
Wel raar dan dat we die functie moesten oplossen en dattie bij het tentamen gevraagd wordt

kzal thuis nog es in m'n boek kijken

[GinnyPig]

Weet je zeker dat je de primitieve moet bepalen, en niet gewoon een integraal van min oneindig tot plus oneindig? Want zulke integralen kan je ook oplossen zonder de primitieve te bepalen (contourintegratie).

nee, het domein was van tanx tot x²

Ik heb er nog 2:
(1+e^x)/(1-e^x)

Ik probeerde sub. met 1-e^x maar dat lukte niet

x²ln(1+x)

Hierbij kwam ik niet verder dan:
ln(1+x)*1/3x³-(int)1/3x³/(1+x)

Over die 1e vraag. Ik hadde vraag niet zo goed gelezen, ik moest de afgeleide van die integraal geven

[mathfreak]

Lucky Luciano schreef op 28-10-2004 @ 11:08 :
Ik heb er nog 2:
(1+e^x)/(1-e^x)

Ik probeerde sub. met 1-e^x maar dat lukte niet

Herschrijf (1+e^x)/(1-e^x) als (1-e^x+2*e^x)/(1-e^x)=(1-e^x)/(1-e^x)+2*e^x/(1-e^x)=1+2*e^x/(1-e^x). Nu geldt: 2*e^x*dx/(1-e^x)=2*d(e^x)/(1-e^x)=2*du/(1-u) met u=e^x. Integreren van 2*du/(1-u) levert 2*ln|1-u|=2*ln|1-e^x| als primitieve, dus de integraal van (1+e^x)/(1-e^x) is gelijk aan x+2*ln|1-e^x|.

Lucky Luciano schreef op 28-10-2004 @ 11:08 :
x²ln(1+x)

Hierbij kwam ik niet verder dan:
ln(1+x)*1/3*x³-(int)1/3*x³/(1+x)

Stel x³/(1+x)=(x²+a*x+b)+c/(1+x). Vermenigvuldiging met (1+x) geeft dan: x³=(x+1)(x²+a*x+b)+c=x³+(a+1)x²+(a+b)x+b+c. Er geldt dan:a=-1,b=1 en c=-1, dus x³/(1+x)=x²-x+1-1/(1+x). Ik neem aan dat je er nu verder wel uitkomt.

tnx

Nog een vraag:

o[int]oneindig 1/([sqrt x]*(1+x))
Ik d8:
opsplitsen in 2 integralen van 0-1 en van 1-oneindig
Dan de limiet van de beinde functie (t->0 en t->oneindig)
Genomen van de functie:
2(sqrt)x+-2/(sqrt)x
Maar dan krijg ik er 2x oneindig uit.
Maar het antwoord moet pi zijn.

[TD]

Lucky Luciano schreef op 29-10-2004 @ 11:18 :
tnx

Nog een vraag:

o[int]oneindig 1/([sqrt x]*(1+x))
Ik d8:
opsplitsen in 2 integralen van 0-1 en van 1-oneindig
Dan de limiet van de beinde functie (t->0 en t->oneindig)
Genomen van de functie:
2(sqrt)x+-2/(sqrt)x
Maar dan krijg ik er 2x oneindig uit.
Maar het antwoord moet pi zijn.

Zoek eerst de onbepaalde integraal.
Daarvoor kan je een substitutie gebruiken:

Stel y=sqrt(x)
<=> dy = 1/(2*sqrt(x)) dx

Int (1/(sqrt(x)*(1 + x)) dx
= 2* INT (1/(2*sqrt(x)*(1 + x)) dx
= 2* INT (1/(1+y)) dy
= 2* ATAN y +C
= 2* ATAN sqrt(x) +C

Nu het verschil van je primitieven geëvalueerd in oneindig en 0:
[2* ATAN sqrt(oneindig)] - [2* ATAN sqrt(x)] =
2* (pi/2) - 0 = pi

[GinnyPig]

TDH schreef op 29-10-2004 @ 12:41 :
...
= 2* INT (1/(1+y)) dy
...

Maar je bedoelt natuurlijk:

...
= 2* INT (1/(1+y²)) dy
...

[sdekivit]

zal vast wel anders klopt het niet

[TD]

Ja, tuurlijk - kwadraatje vergeten