[WIS] Differentiaalvergelijkingen

Ik heb wat problemen met de volgende opgaven:

1.

Gegeven is de tweede orde differentiaalvergelijking:

u" + du' + u³ = 0
waarbij d element is van de reële getallen. (een constante dus)
Schrijf deze vergelijking als een stelsel van eerste orde differentiaalvergelijkingen.

2.

Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem: (denk even kromme d's i.p.v. de gewone)

du/dt = d²u/dx² - t*du/dx - u
met t>0 en x reëel.
u(x,0) = 0 als x<0 en 1 als x>0

Hint: gebruik een transformatie die de convectie- en de reactietermen elimineert. (het is een diffusievergelijking)

3.
De uitwijking u = u(x,t) van een aangedreven koord wordt beschreven door (weer kromme d's):

d²u/dx² = 1/c² * d²u/dt² + Ax*sin(wt)
met 0<x<l, t>0.
en c, A en l positieve constanten.
u(0,t) = u(l,t) = 0 voor alle t>0.

-Laat zien dat er een oplossing is van de vorm u(x,t) = U(x)sin(wt)

-Bepaal U(x) als w voldoet aan wl =/= n*pi*c, n = 1,2,...

- Wat is er aan de hand als wl = n*pi*c? (dat is natuurlijk resonantie, maar dat moet ik wel wiskundig beredeneren in plaats van met natuurkundeinstinct )

Niemand?

[Supersuri]

Mephostophilis schreef op 09-03-2005 @ 18:20 :
Niemand?

Nee toen ik het onderwerp zag d8 ik makkelijk, maar toen ik de poster zag d8 ik moeilijk aangezien jij op veel problemen reageert met een goed antwoord. en toen ik je post las d8 ik onmogelijk te snappen voor mij.

[Bernero]

Dat is inderdaad andere koek dan de differentiaalvergelijkingen op vwo

mathfreak schreef op 09-03-2005 @ 20:54 :
u" + d*u' + u³ = 0 is als een stelsel d.v.-en te schrijven door de substitutie u=y₁, u'=y₂=y'₁ en u"=y'₂ toe te passen. Dit geeft dan een stelsel van 2 d.v.-en van de eerste orde.

Dat snap ik, maar die u³-term gooit roet in het eten... Dus hoe dan?

Bij de tweede en de derde opgave kun je het beste de methode van gescheiden variabelen toepassen.

Ja, scheiden van variabelen snap ik wel, maar welke transformatie moet je bij 2 nu toepassen? En bij 3 krijg ik een fout antwoord.

Verder verwijs ik je naar je dictaat en je college-aantekeningen over partiële d.v.-en.

Colleges ben ik niet heengeweest, en aantekeningen maak ik sowieso nooit. En als het in het dictaat goed uitgelegd stond zou ik het hier niet vragen.

[mathfreak]

Mephostophilis schreef op 09-03-2005 @ 21:05 :
Dat snap ik, maar die u³-term gooit roet in het eten... Dus hoe dan?

Er wordt niet verondersteld dat het lineaire d.v.-en van de eerste orde zijn, zoals jij misschien wel denkt, dus je kunt gewoon gebruik maken van de substitutie die ik aangaf.

Ja, scheiden van variabelen snap ik wel, maar welke transformatie moet je bij 2 nu toepassen? En bij 3 krijg ik een fout antwoord.[/QUOTE]
Je zou bij 2 de substitutie u(x,t)=e^a*x+b*t kunnen proberen. Bij 3 krijg je bij de substitutie u(x,t)=U(x)*sin(w*t) een lineaire d.v. van de tweede orde in U, die je bijvoorbeeld met behulp van de Laplacetransformatie op zou kunnen lossen om zo de algemene oplossing te vinden.

Mephostophilis schreef op 09-03-2005 @ 21:05 :
[B]Colleges ben ik niet heengeweest, en aantekeningen maak ik sowieso nooit. En als het in het dictaat goed uitgelegd stond zou ik het hier niet vragen.

Einstein volgede ook nooit colleges en leende de aantekeningen van zijn medestudent Marcel Grossmann. Weliswaar is Einstein ondanks dit alles goed terecht gekomen, maar ik durf niet te garanderen dat een zelfde werkwijze voor jou uiteindelijk net zo gunstig zal zijn.

mathfreak schreef op 10-03-2005 @ 20:14 :
Er wordt niet verondersteld dat het lineaire d.v.-en van de eerste orde zijn, zoals jij misschien wel denkt, dus je kunt gewoon gebruik maken van de substitutie die ik aangaf.

Ja, die heb ik inmiddels door.

Je zou bij 2 de substitutie u(x,t)=e^a*x+b*t kunnen proberen. Bij 3 krijg je bij de substitutie u(x,t)=U(x)*sin(w*t) een lineaire d.v. van de tweede orde in U, die je bijvoorbeeld met behulp van de Laplacetransformatie op zou kunnen lossen om zo de algemene oplossing te vinden.

Ik zal het morgenochtend eens proberen. Bedankt.

Einstein volgede ook nooit colleges en leende de aantekeningen van zijn medestudent Marcel Grossmann. Weliswaar is Einstein ondanks dit alles goed terecht gekomen, maar ik durf niet te garanderen dat een zelfde werkwijze voor jou uiteindelijk net zo gunstig zal zijn.

Ik sta nu nominaal min één vak (73 ECTS) en heb mijn P, dus dat valt denk ik wel mee. Bovendien is het eerste jaar het zwaarst. (tenminste, dat zegt iedereen)