[Wis] Goniometrie

[FastJapie]

Ik kom niet uit deze 6 sommetjes. Zouden jullie kunnen aangeven hoe het moet en wat de antwoorden zijn?



Opgave 1. Voor een punt P gelden de volgende bewegingsvergelijkingen :
{x(t) = 2sin3t
{y(t) = 3cos2t ½ ≤ t ≤ 1½

a. Welke waarden kunnen x en y aannemen ?
b. Maak een schet van de grafiek m.b.v. de GRM

De baan P snijdt zichzelf in een punt Q op de Y-as
c. Bepaal de coördinaten van Q
d. Hoe groot is de baansnelheid in Q
e. Onder welke hoek (1 decimaal nauwkeurig) snijdt de baan van P zichzelf in Q

Opgave 2.
De grafiek van de functie f(t)=sin5t+sin8t heeft als omhullende sinusoiden de functies g1(t)=2cos(1½t) en g2(t)=-2cos(1½t)
Laat met behulp van de GRM zien dat inderdaad geldt dat g1(t)≤f(t)≤g2(t) of g2≤f(t)≤g1(t) voor iedere waarde van t. (neem t uit [-2,2]

Opgave 3. Gegeven zijn de functies f(x)=sinxm g(x)=sin(x+a), h(x)=f(x)+g(x) met 0≤x≤2

a. Bepaal mbv een herschrijving van de formule h m.b.v de formule van Simpson de maximale waarde van h
b. Los op h(x)=0
c. Voor welke waarde van a is het maximum zo groot mogelijk?
d. Voor welke waarde van a is het minimum zo klein mogelijk?

Opgave 4
Amsterdam ligt op ongeveer 52 graden noorderbreedte. Dat wil zeggen dat de verbindingslijn van Amsterdam met het middelpunt van de aarde een hoek van 38 graden maakt met de rotatieas van de aarde.
De omtrek van de aarde is ongeveer 40000 km. En de aarde is (bij benadering) een bol. Als je van boven op de aarde kijkt, draait de aarde tegen de wijzers van klok in

a. Berekent met bovenstaande gegevens de exacte hoeksnelheid van Amsterdam in radialen per uur en bereken de baansnelheid van Amsterdam in gehele kilometers per uur

De aarde beweeg ook rond de zon. Eenvoudig benaderd kunnen we zeggen dat de aarde een cirkelbaan rond de zon beschrijft met een straal van 15000000 km..
Over deze cirkelbaan doet de aarde ongeveer 365,25 dagen
b. Hoe groot is de hoeksnelheid van de aarde in de baan rond de zon in radialen per uur (wetenschappelijke notatie, 3 decimalen) en hoe groot is de baansnelheid van de aarde in km. Per uur?

Opgrave 5. Een fles melk heeft een temperatuur van T°C. De omgevingstemperatuur is N°C
Voor T geldt dT/dt=0,04 x (N – T). (de temeraturen in °C, tijd in minuten)
a. Kan deze formule ook juist zijn als de omgevingstemperatuur lager is dan de temperatuur van de fles?
b. Stel op t=0 geldt: N = 20, T=5
Benader met de methode van Euler en met een stapgrootte van 10 minuten de temperatuur van de fles na 10,20,30 en 40 minuten.
c. Als de fles warmer wordt, zal de omgeving daardoor niet kouder worden? (de energie moet toch ergens vandaan komen) Waarom is het niet belangrijk dit in de formule te verwerken?

Opgave 6.
Een virus is in het drinkwaterreservoir van een stad met 50000 inwoners terechtgekomen. Omdat iedereen wel water gebruikt zal het virus zich snel verspreiden. Iedereen die het virus binnenkrijgt wordt daar bijna direct ziek van. Het aantal mensen dat al ziek geworden is noemen we N.
Op t=0 geldt N=1000 en de toenamesnelheid van N blijkt vanaf t=0 gegeven te worden door dN/dt=0,7 x(50000-N), waarbij t gerekend wordt in dagen.
a. Zal volgende de differntiaalvergelijking iederen geïnfecteerd raken?
b. Toon aan dat de funcite N(t)=50000-k∙e-0,7t aan de differentiaalvergelijking voldoet.
c. Bepaal de waarde van k
d. Hoeveel mensen krijgen tussen t=0 en t=3 het virus niet binne?

dit lijkt me gewoon je huiswerk.

bijvoorbeeld Opgave 2 is standaard GRM-intoets-werk.
Vertel eerst eens wat je zelf al had bedacht?

[JCG]

bartjenl schreef op 03-04-2005 @ 01:49 :
dit lijkt me gewoon je huiswerk.

bijvoorbeeld Opgave 2 is standaard GRM-intoets-werk.
Vertel eerst eens wat je zelf al had bedacht?

idd, klop die formules in je GR en je hebt de antwoorden

[sdekivit]

om te kijken of een oplossing van een differentiaalvergelijking behoort tot de oplossingen, differentieer gewoon de oplossingsfunctie:

N(t) = 50000 - k * e^(-0,7 t)

dN/dt = -k * e^(-0,7 t) * -0,7

we kunnen zeggen dat -k * e^(-0,7 t) = N(t) - 50000

--> dN/dt = (N(t) - 50000) * -0,7

--> dN/dt = 0,7 (50000 - N(t))

[FastJapie]

Ja er staat ook bij GRM, maar als ik doe formules inram zie je twee sinusoïden en een vage sinus er tussen door. Deze blijft telkens tussen die 2 normale sinusoïden inzetten. Maar HOE schrijf ik op (lees: hoe bewijs ik) dat dat zo is?

[mathfreak]

FastJapie schreef op 03-04-2005 @ 11:04 :
Ja er staat ook bij GRM, maar als ik doe formules inram zie je twee sinusoïden en een vage sinus er tussen door. Deze blijft telkens tussen die 2 normale sinusoïden inzetten. Maar HOE schrijf ik op (lees: hoe bewijs ik) dat dat zo is?

Schrijf f(t)=sin(5*t)+sin(8*t) om met behulp van de formule sin(a)+sin(b)=2*cos(1/2[a-b])*sin(1/2[a+b]).
Dit geeft: f(t)=2*cos(-1 1/2*t)*sin(6 1/2*t)=2*cos1/2*t)*sin(6 1/2*t). Waarschijnlijk kom je er nu wel uit.

FastJapie schreef op 03-04-2005 @ 11:04 :
Ja er staat ook bij GRM, maar als ik doe formules inram zie je twee sinusoïden en een vage sinus er tussen door. Deze blijft telkens tussen die 2 normale sinusoïden inzetten. Maar HOE schrijf ik op (lees: hoe bewijs ik) dat dat zo is?

zoek met intersect of ze elkaar ergens snijden tussen -2pi en 2pi? (zal wel niet het geval zijn)
en anders kun je altijd nog in de tabel kijken enzo.

[FastJapie]

Bedankt!
Bij opgave1e. loop ik wederom vast. Ik heb geen enkel idee hoe ik dat moet berekenen.
De vraag luidt: Onder welke hoek ( 1 decimaal nauwkeurig) snijdt de baan van P zichzelf in Q?
(zie Open-post)

FastJapie schreef op 03-04-2005 @ 15:34 :
Bedankt!
Bij opgave1e. loop ik wederom vast. Ik heb geen enkel idee hoe ik dat moet berekenen.
De vraag luidt: Onder welke hoek ( 1 decimaal nauwkeurig) snijdt de baan van P zichzelf in Q?
(zie Open-post)

Moet je het snijpunt berekenen en dan met behulp van de afgeleide?

[FastJapie]

Snijpunt weet ik al: (0;-1.5) wat moet ik dan met de afgeleide doen?
En welke hoek willen ze precies weten?met de x-as? met y-as?

[mathfreak]

FastJapie schreef op 03-04-2005 @ 16:03 :
Snijpunt weet ik al: (0;-1.5) wat moet ik dan met de afgeleide doen?
En welke hoek willen ze precies weten?met de x-as? met y-as?

Onder de hoek van een kromme met zichzelf verstaat men de hoek die de raaklijnen aan de kromme in dat punt met elkaar maken. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn wordt gegeven door dy/dx=y'(t)/x'(t).

[FastJapie]

Als ik allebei de afgeleiden heb: x'(t)=6cos3t
y'(t)=-6 sin 2t
wat moet ik dan doen?

[Supersuri]

FastJapie schreef op 03-04-2005 @ 17:00 :
Als ik allebei de afgeleiden heb: x'(t)=6cos3t
y'(t)=-6 sin 2t
wat moet ik dan doen?

De t van het snijpunt in vullen en daar komt dan een getal uit en ik d8 dan arctan dat getal

[FastJapie]

Dan kom ik op een hoe van -40.9 uit! Denk niet dat dat klopt of wel?

[mathfreak]

FastJapie schreef op 03-04-2005 @ 17:00 :
Als ik allebei de afgeleiden heb: x'(t)=6cos3t
y'(t)=-6 sin 2t
wat moet ik dan doen?

Laten we eerst eens kijken hoe het precies zit met dat snijpunt (0,-1 1/2). Blijkbaar moet gelden: 2*sin(3*t₁)=2*sin(3*t₂) en 3*cos(2*t₁)=3*cos(2*t₂). Uit de eerste vergelijking volgt: sin(3*t₁)=sin(3*t₂), dus 3*t₁=3*t₂+k*2*pi of 3*t₁=pi-3*t₂+k*2*pi, dus t₁=t₂+k*2/3*pi of t₁=1/3*pi-t₂+k*2/3*pi. Uit x(t)=0 volgt: sin(3*t₁)=sin(3*t₂)=0, dus 3*t₂=k*2*pi, dus t₂=k*2/3*pi. Voor t₁ vinden we nu: t₁=k*1 1/3*pi of t₁=1/3*pi.
Omdat t minimaal 1/2*pi en maximaal 1 1/2*pi kan zijn vinden we: t₁=t₂=0 of t₁=1/3*pi en t₂=2/3*pi of t₁=1 1/3*pi en t₂=2/3*pi. Omdat 3*cos(2*t₁)=3*cos(2*t₂)=-1 1/2, dus cos(2*t₁)=cos(2*t₂)=-1/2 valt t₁=t₂=0 af. Het blijkt dat t₁=1/3*pi en t₂=2/3*pi of t₁=1 1/3*pi en t₂=2/3*pi wel voldoet. Bepaal dus voor deze t₁ en t₂ dy/dx=y'(t)/x'(t)=-6*sin(2*t)/(6*cos(3*t))=-sin(2*t)/cos(3*t). Voor de ene raaklijn vind je dan -sin(2*t₁)/cos(3*t₁) als richtingscoëfficiënt, en voor de andere raaklijn vind je dan -sin(2*t₂)/cos(3*t₂) als richtingscoëfficiënt.

[FastJapie]

En wat moet je dan met die 2 getallen doen?

edit: 0.8660 respectievelijk -.08660

[mathfreak]

FastJapie schreef op 03-04-2005 @ 18:48 :
En wat moet je dan met die 2 getallen doen?

edit: 0.8660 respectievelijk -.08660

Ik neem aan dat dit de uitkomsten zijn van dy/dx=y'(t)/x'(t). Er geldt nu: dy/dx=tan(alfa), waarbij alfa de gevraagde hoek voorstelt. Uit tan(alfa)=0,866 volgt: alfa=41°.

[Supersuri]

FastJapie schreef op 03-04-2005 @ 18:28 :
Dan kom ik op een hoe van -40.9 uit! Denk niet dat dat klopt of wel?

Nee moet 40.9 zijn. Hij meet de hoek in de negatieve richting maar die is natuurlijk even groot als in de positieve richting. (linksom of rechtsom) Of zit ik er nu heel ver naast met mijn gedachten. Hoor het wel van Mathfreak of het klopt wat ik zeg

[FastJapie]

sdekivit schreef op 03-04-2005 @ 10:22 :
om te kijken of een oplossing van een differentiaalvergelijking behoort tot de oplossingen, differentieer gewoon de oplossingsfunctie:

N(t) = 50000 - k * e^(-0,7 t)

dN/dt = -k * e^(-0,7 t) * -0,7

we kunnen zeggen dat -k * e^(-0,7 t) = N(t) - 50000

--> dN/dt = (N(t) - 50000) * -0,7

--> dN/dt = 0,7 (50000 - N(t))

die derde regel : -k * e^(-0.7t) = N(t) -50000 snap ik niet helemaal . de afgeleide is gewoon -k * e^(-0,7 t) * -0,7
dat is wel redelijk te doen maar daarna gat je iets te snel.

[mathfreak]

FastJapie schreef op 04-04-2005 @ 14:11 :
die derde regel : -k * e^(-0.7t) = N(t) -50000 snap ik niet helemaal . de afgeleide is gewoon -k * e^(-0,7 t) * -0,7
dat is wel redelijk te doen maar daarna ga je iets te snel.

Er is gegeven: dN/dt=0,7(50000-N). Invullen van N(t)=50000-k*e^-0,7*t geeft dan: dN/dt=0,7*ke^-0,7*t=0,7(5000-[50000-k*e^-0,7*t])
=0,7(5000-5000+k*e^-0,7*t). Dit klopt, dus N(t)=50000-k*e^-0,7*t is inderdaad een functie die aan de d.v. voldoet.

[TnD]

Opgave 3. Gegeven zijn de functies f(x)=sinxm g(x)=sin(x+a), h(x)=f(x)+g(x) met 0≤x≤2

a. Bepaal mbv een herschrijving van de formule h m.b.v de formule van Simpson de maximale waarde van h
b. Los op h(x)=0
c. Voor welke waarde van a is het maximum zo groot mogelijk?
d. Voor welke waarde van a is het minimum zo klein mogelijk?


Ik ben begonnen met a)
h(x) = f(x) + g(x)
de formule van Simpson :
sin t + sin u = 2 * sin ((t+u)/2) * cos ((t-u)/2)
sin x + sin (x+a) = 2 * sin ((x+(x+a))/2) * cos ((x-(x+a))/2)
= 2 * sin x + a/2 * cos a/2

Maar hoe moet ik nou in godsnaam gaan bepale wat de maximale waarde van h is?
Ik zou de hele formule kunnen differentieren, maar da's niet t oen.. aangezien je 3 factoren met elkaar vermenigvuldigt..
Zou iemand met kunne helpe?

[mathfreak]

TnD schreef op 04-04-2005 @ 19:14 :
Opgave 3. Gegeven zijn de functies f(x)=sinxm g(x)=sin(x+a), h(x)=f(x)+g(x) met 0≤x≤2

a. Bepaal mbv een herschrijving van de formule h m.b.v de formule van Simpson de maximale waarde van h
b. Los op h(x)=0
c. Voor welke waarde van a is het maximum zo groot mogelijk?
d. Voor welke waarde van a is het minimum zo klein mogelijk?


Ik ben begonnen met a)
h(x) = f(x) + g(x)
de formule van Simpson :
sin t + sin u = 2 * sin ((t+u)/2) * cos ((t-u)/2)
sin x + sin (x+a) = 2 * sin ((x+(x+a))/2) * cos ((x-(x+a))/2)
= 2 * sin x + a/2 * cos a/2

Maar hoe moet ik nou in godsnaam gaan bepale wat de maximale waarde van h is?
Ik zou de hele formule kunnen differentieren, maar da's niet t oen.. aangezien je 3 factoren met elkaar vermenigvuldigt..
Zou iemand met kunne helpe?

Als je kijkt naar de uitdrukking 2*sin(x)+1/2*a*cos(a) zie je dat je alleen een afhankelijke variabele hebt bij 2*sin(x), aangezien je de a in 1/2*a*cos(a) als een onafhankelijke variabele, dus als een constant getal, kunt opvatten. Zoals je weet is sin(x) maximaal 1, dus dat betekent dat de maximale waarde van h gelijk is aan 2+1/2*a*cos(a).