[WI] goniometrische vergelijkingen oplossen

[kevinmertens]

hoi allemaal,
ik ben al ee ntijdje met goniometrie bezig, en het CE komt er al aan.
ik heb het helaas nog niet echt onder de knie

op het moment loop ik vast op bv de volgende opgave:
gebruik de somformules en verdubbelingsformules en los exact op:
a) 2 sin t*cos t = sin (3t)

op het moment van schrijven hier zie ik inneens dat je gewoon sin(2t) = 2sin t * cost moet gebruiken
dan krijg je sin (2t) = sin (3t)
oftewel:
2t = 3t + k2pi
maar wat dan?
ik weet wat het antwoord is, maar niet hoe ik eraan moet komen

verder ben ik op zoek naar oefenopgaven over goniometrie op inet, zelf heb ik :
http://www.ditmar.org/wiskunde/gonvlg2.pdf
al gevonden, weet iemand verder nog goede sites?
alvast bedankt
en groetjes kevin

[kevinmertens]

ook kom ik niet uit deze opgave:
sin(t+1/6 pi) = 1/4 + 1/2 wortel3 sin t
moet(/kun) je hiervoor de formule: "cos 2t = 2 cos² t -1" gebruiken?
en zoja hoe moet je dan verder?



ook de volgende:
cos 3t schrijven als alleen cos t of machten van cos t
het lukt me ook niet (dezelfde opdracht voor sin 3t schrijven als sinussen lukt wel, maar dat is niet hetzelfde )

[mathfreak]

kevinmertens schreef:

hoi allemaal,
ik ben al ee ntijdje met goniometrie bezig, en het CE komt er al aan.
ik heb het helaas nog niet echt onder de knie

op het moment loop ik vast op bv de volgende opgave:
gebruik de somformules en verdubbelingsformules en los exact op:
a) 2 sin t*cos t = sin (3t)

op het moment van schrijven hier zie ik inneens dat je gewoon sin(2t) = 2sin t * cost moet gebruiken
dan krijg je sin (2t) = sin (3t)
oftewel:
2t = 3t + k2pi
maar wat dan?
ik weet wat het antwoord is, maar niet hoe ik eraan moet komen

Als sin x = sin a, dan geldt: x = a+2kπ of x = π-a+2kπ, dus 2t = 3t+2kπ of 2t = π-3t+2kπ, dus 2t-3t = 2kπ of 2t+3t = 2kπ, dus t = -2kπ = 2mπ of 5t = 2kπ, dus t = 2kπ of .

kevinmertens schreef:

ook kom ik niet uit deze opgave:
sin(t+1/6 pi) = 1/4 + 1/2 wortel3 sin t
moet(/kun) je hiervoor de formule: "cos 2t = 2 cos² t -1" gebruiken?
en zoja hoe moet je dan verder?

Er geldt: sin(a+b) = sin acos b+sin b cos a, dus , dus , dus , dus .

kevinmertens schreef:

ook de volgende:
cos 3t schrijven als alleen cos t of machten van cos t
het lukt me ook niet (dezelfde opdracht voor sin 3t schrijven als sinussen lukt wel, maar dat is niet hetzelfde )

Ga uoit van cos (a+b) = cos a cos b-sin asin b met a = 2t en b = t en pas verder de formules sin 2t = 2sin tcos t en cos 2t = 2cos²t-1 toe.

[kevinmertens]

heeel erg bedankt
als je het zo ziet staan lijkt het zo simpel, e ndat is het ook, maar als je het niet ziet

alleen die laatste klopt niet lijkt me.
je moet cos 3t dus echt schrijven met alleen maar cosinussen en machten daarvan, volgens het antw boek is het antw:
cos 3t = 4 cos^3 t - 3 cos t

[mathfreak]

kevinmertens schreef:

heeel erg bedankt

Graag gedaan.

kevinmertens schreef:

als je het zo ziet staan lijkt het zo simpel, en dat is het ook, maar als je het niet ziet

Waar het bij dit soort dingen altijd om gaat is dat je weet welke formules, eigenschappen en dergelijke, je nodig hebt.

kevinmertens schreef:

alleen die laatste klopt niet lijkt me.
je moet cos 3t dus echt schrijven met alleen maar cosinussen en machten daarvan, volgens het antw boek is het antw:
cos 3t = 4 cos^3 t - 3 cos t

Er geldt: cos 3t = cos(2t+t) = cos 2tcos t-sin 2tsin t = (2cos²t-1)cos t-2sin tcos tsin t = 2cos³t-cos t-2sin²tcos t
= 2cos³t-cos t-2(1-cos²t)cos t = 2cos³t-cos t-2cos t+2cos³t = 4cos³t-3cos t.