[WI] driehoek en hoogtelijnen

[piet-r]

denk ik eindelijk alles te snappen voor mijn wiskundetoets, snap ik de allerlaatste vraag niet!

Kunnen jullie mij helpen? De vraag staat hieronder in de bijlage,
alvast bedankt !

[mathfreak]

Stel PQ is de basis van de driehoek met zijde a en R de top. Stel de hoogtelijn uit R snijdt PQ in S. Omdat ∆PQR een gelijkzijdige driehoek is, is PQR ook gelijkbenig, dus de hoogtelijn uit R is tevens de middelloodlijn van PQ, dus PS =QS = ½a. Nu is ∆PRS een rechthoekige driehoek met schuine zijde PR = a en rechthoekszijden RS en PS = ½a. Volgens de stelling van Pythagoras geldt nu: PR² = PS²+RS², dus RS² = PR²-PS². Omdat PR = a en PS = ½a vind je zo de lengte van de hoogtelijn RS. Je vindt dan: RS = ½a√3. Dat heeft te maken met het volgende: ∆PQR is een gelijkzijdige driehoek die door de hoogtelijn RS in 2 rechthoekige driehoeken met hoeken van 30º en 60º verdeeld wordt. In ∆PRS geldt: en . In een rechthoekige driehoek met hoeken van 30º en 60º is de schuine zijde altijd het dubbele van de kleinste rechthoekszijde, en is de lengte van de grootste rechthoekszijde daarom altijd √3 maal de lengte van de kleinste rechthoekszijde. Omdat PQ de basis en RS de hoogte is vind je: oppervlakte ∆PQR = ½PQ·RS = ½a·½a√3 = ¼a²√3.

[piet-r]

mathfreak schreef:

Stel PQ is de basis van de driehoek met zijde a en R de top. Stel de hoogtelijn uit R snijdt PQ in S. Omdat ∆PQR een gelijkzijdige driehoek is, is PQR ook gelijkbenig, dus de hoogtelijn uit R is tevens de middelloodlijn van PQ, dus PS =QS = ½a. Nu is ∆PRS een rechthoekige driehoek met schuine zijde PR = a en rechthoekszijden RS en PS = ½a. Volgens de stelling van Pythagoras geldt nu: PR² = PS²+RS², dus RS² = PR²-PS². Omdat PR = a en PS = ½a vind je zo de lengte van de hoogtelijn RS. Je vindt dan: RS = ½a√3. Dat heeft te maken met het volgende: ∆PQR is een gelijkzijdige driehoek die door de hoogtelijn RS in 2 rechthoekige driehoeken met hoeken van 30º en 60º verdeeld wordt. In ∆PRS geldt: en . In een rechthoekige driehoek met hoeken van 30º en 60º is de schuine zijde altijd het dubbele van de kleinste rechthoekszijde, en is de lengte van de grootste rechthoekszijde daarom altijd √3 maal de lengte van de kleinste rechthoekszijde. Omdat PQ de basis en RS de hoogte is vind je: oppervlakte ∆PQR = ½PQ·RS = ½a·½a√3 = ¼a²√3.

lang leve mathfreak!
bedankt! ik snap het! opdracht 1 dacht ik hetzelfde maar ik had gewoon (a² - (½a²)) ik wist niet dat je dan gewoon in je rekenmachine 1² - 0,5² mocht typen!!!
en bij opdracht 2, ik snap echt niet hoe je daar op kwam!

[mathfreak]

Als b de basis van de driehoek, h de hoogte en O de oppervlakte van de driehoek voorstelt, dan geldt: O = ½bh. Je vindt de oppervlakte van een driehoek dus door de helft van de basis met de hoogte te vermenigvuldigen.