[WI] Differentiaalvergelijking

[Young Grow Old]

Hallo,

Ik hoop dat iemand mij kan helpen, want ik kom niet uit de volgende opgave:

Vind een functie f:[0,1]->IR, waarvoor geldt:
f'(x)=f(x²) voor alle x uit [0,1].

[Little Dutchess]

Wat is IR als ik vragen mag?

[Integer]

De reele rechte. Ik ben trouwens wel erg benieuwd naar het antwoord hierop.

[TD]

mathfreak schreef op 15-02-2006 @ 19:41 :
@Young Grow Old: Stel f(x)=f(g(t))=h(t), dan geldt: h'(t)=f'(g(t))*g'(t), dus f'(x)=h'(t)/g'(t) en f(x²)=f((g(t)²). Stel g(t)=sqrt(t), dan geldt: f'(x)=2*sqrt(t)*h'(t) en f(x²)=f(t), dus h'(t)=1/2*f(t)/sqrt(t). Stel f(t)=tⁿ, dan geldt: h'(t)=1/2*t^n-1/2, dus h(t)=1/2*2/(2*n+1)*t^n+1/2=t^n+1/2/(2*n+1), dus f(x)=x^2*n+1/(2*n+1).

Als f(x) = h(t), waarom verdwijnt dan een factor 1/2 in de exponent in die laatste stap? Misschien mis ik iets...
Overigens, als f(x)=x^2*n+1/(2*n+1), dan is f'(x) = x^2*n maar hoezo is dit gelijk aan f(x²)=x²^2*n+1/(2*n+1)?

[Young Grow Old]

TD schreef op 15-02-2006 @ 20:03 :
Als f(x) = h(t), waarom verdwijnt dan een factor 1/2 in de exponent in die laatste stap? Misschien mis ik iets...
Overigens, als f(x)=x^2*n+1/(2*n+1), dan is f'(x) = x^2*n maar hoezo is dit gelijk aan f(x²)=x²^2*n+1/(2*n+1)?

@ Mathfreak Ik heb precies hetzelfde commentaar als TD.. De berekeningen die je hebt gedaan, kloppen allemaal, maar leveren niet een functie f die aan de eisen voldoet. Een van de veronderstellingen g(t)=sqrt(t), of f(t)=tⁿ klopt dus niet. Een andere conclusie kan ik er niet uit trekken..

Ik heb dus nog steeds geen idee hoe deze vraag op te lossen

[TD]

Ik heb er nog niet grondig naar gekeken (morgen na de les misschien), het enige dat me "op het zicht" opvalt is dat het met een extra min-teken wel erg eenvoudig was geweest.

Neem f(x) = 1/x => f'(x) = -1/x² en f(x²) = 1/x²

[Young Grow Old]

TD schreef op 15-02-2006 @ 22:14 :
Ik heb er nog niet grondig naar gekeken (morgen na de les misschien), het enige dat me "op het zicht" opvalt is dat het met een extra min-teken wel erg eenvoudig was geweest.

Neem f(x) = 1/x => f'(x) = -1/x² en f(x²) = 1/x²

Die zag ik ook meteen ja. Bijkomend probleem is wel dat deze niet gedefinieerd is in x=0.

f(x)=0 voldoet aan alle eisen.

[Integer]

Goh, daar heb je veel aan, zo'n triviale oplossing.

Integer schreef op 16-02-2006 @ 08:43 :
Goh, daar heb je veel aan, zo'n triviale oplossing.

Dat was ook de enige die ik kon bedenken.
Het is namelijk zo dat het kwadrateren van de functie gelijk moet zijn aan het machtsverhogen van de afgeleiden. De enige functies waarbij de macht verhoogd wordt zijn hyperbolische functies. Maar die worden uitgesloten omdat 0 niet binnen het domein valt. Zodoende blijft alleen de lijn f(x)=0 over.

[TD]

Lucky Luciano schreef op 16-02-2006 @ 09:15 :
Het is namelijk zo dat het kwadrateren van de functie gelijk moet zijn aan het machtsverhogen van de afgeleiden.

Misschien begrijp ik je verkeerd, maar we het is niet de functie die gekwadrateerd wordt. De functie wordt geëvalueerd in x², dat is niet hetzelfde. Als f(x) = sin(x) dan is f(x²) = sin(x²) maar f(x)² = sin²(x).

[Integer]

Even voor de TS: waar ben je dit probleem tegengekomen? Misschien dat we er met wat meer achtergrondinformatie uitkomen.

TD schreef op 16-02-2006 @ 11:58 :
Misschien begrijp ik je verkeerd, maar we het is niet de functie die gekwadrateerd wordt. De functie wordt geëvalueerd in x², dat is niet hetzelfde. Als f(x) = sin(x) dan is f(x²) = sin(x²) maar f(x)² = sin²(x).

ahja

[Integer]

Lucky Luciano schreef op 16-02-2006 @ 12:48 :
ahja

Maarehm, als je de vergelijking f'(x) = f(x)^2 neemt heeft deze ook nog de oplossingen f(x) = -1/(x+c), niet alleen de triviale oplossing

[Young Grow Old]

Integer schreef op 16-02-2006 @ 12:06 :
Even voor de TS: waar ben je dit probleem tegengekomen? Misschien dat we er met wat meer achtergrondinformatie uitkomen.

In een stel opgaven voor analyse, gemaakt door mijn docent. De opgaven hebben niet erg veel samenhang, dus de context is niet erg duidelijk.

Overigens is het triviale geval f(x)=0 uitgesloten, omdat in de opgave nog geeist wordt dat f(0)=3 (had ik er eerst nog niet bijgezet, maar staat er wel).

Ik dacht al dat je iets weggelaten zou hebben.

[mathfreak]

Young Grow Old schreef op 15-02-2006 @ 22:06 :
@ Mathfreak Ik heb precies hetzelfde commentaar als TD.. De berekeningen die je hebt gedaan, kloppen allemaal, maar leveren niet een functie f die aan de eisen voldoet. Een van de veronderstellingen g(t)=sqrt(t), of f(t)=tⁿ klopt dus niet. Een andere conclusie kan ik er niet uit trekken..

Ik heb dus nog steeds geen idee hoe deze vraag op te lossen

Ik heb mijn vorige reply inmiddels verwijderd, dus vergeet die berekening verder maar. Ik weet eerlijk gezegd ook niet hoe het anders zou moeten.

Het is maar een ideetje, maar kan het niet iets met een log of ln zijn? Het kwadraat zou je dan buiten de functie kunnen halen.

Snees schreef op 16-02-2006 @ 22:18 :
Het is maar een ideetje, maar kan het niet iets met een log of ln zijn? Het kwadraat zou je dan buiten de functie kunnen halen.

Zat ik ook aan te denken... maar ik heb het (nog) niet gevonden.

[EvilSmiley]

En? Komt er nog een ontknoping?

[Integer]

We wachten

[sdekivit]

Opgegeven lol

[Integer]

Ik voel hier een groots wiskundig probleem in de maak

[Integer]

Het enige wat ik nu van de functie kan zeggen is dat hij symmetrisch is aangezien f'(x) = f'(-x) en de toestand op x=0 gegeven is...

[Integer]

Correctie, de functie kan natuurlijk helemaal niet bestaan op punten x < 0.

[Safe]

Ga nog eens even met deze opgave naar je docent!

[pino123]

klopt dit:

f(x)= ((2n+1)x²ⁿ⁺¹)/(n²+2n+1)

[TD]

pino123 schreef op 02-04-2006 @ 15:37 :
klopt dit:

f(x)= ((2n+1)x²ⁿ⁺¹)/(n²+2n+1)

Nee,

f '(x) = ((2n+1)²x²ⁿ)/(n²+2n+1)

f(x²) = ((2n+1)x⁴ⁿ⁺²)/(n²+2n+1)

[Integer]

Safe schreef op 02-04-2006 @ 15:18 :
Ga nog eens even met deze opgave naar je docent!

Blaat.

Safe schreef op 02-04-2006 @ 15:18 :
Ga nog eens even met deze opgave naar je docent!

Aangezien mijn DV-docent niets nuttig meer te melden had, vroeg ik hem deze DV. Hij keek ernaar en vroeg vervolgens waar in het boek deze stond, ik zei dat ik dat niet meer precies wist en hij zei toen dat hij vermoedde dat ik het verkeerd had overgenomen. Dat zegt wschlk iets over de moeilijkheid