wortel

[eindhovenrulez]

hallo,

Ik weet dat je uit een negetief getal geen wortel kunt trekken, maar kun je wel uit een negetief getal de derdemachtswortel trekken???


Greetz,
Jeroen

[GinnyPig]

Ja dat kan.

De 3e-machtswortel uit -1 is -1, want: -1*-1*-1 = -1

[eindhovenrulez]

thanx

(eigenlijk logisch)

[Miess]

In de complexe wiskunde rekent men echter wel verder met de wortel van -1, deze stelt men gelijk aan i (van Imaginair getal). In de complexe wiskunde zet men bijvoorbeeld het getal -81 om in 81i^2, want i kwadraad is immers -1-> 81*-1=-81.

[mathfreak]

Miess schreef op 29-03-2003 @ 18:09:
In de complexe wiskunde rekent men echter wel verder met de wortel van -1, deze stelt men gelijk aan i (van Imaginair getal). In de complexe wiskunde zet men bijvoorbeeld het getal -81 om in 81i^2, want i kwadraad is immers -1-> 81*-1=-81.

Hier moet even de volgende kanttekening bij gemaakt worden: we definiëren het getal i als een niet-reëel getal met de eigenschap i²=-1, zodat de vergelijking x²=a ook oplossingen heeft voor a<0. Formeel is het dus niet juist om i te definiëren als de (vierkants)wortel uit -1.
Maken we gebruik van de definitie e^i*x=cos(x)+i*sin(x) (de formule van Euler), dan is een complex getal z=a+b*i te schrijven als z=a+b*i=r*e^i*fi
=r(cos(fi)+i*sin(fi)) met r=|z|=sqrt(a²+b²) (de absolute waarde van z) en tan(fi)=b/a=arg(z) (het argument van z).
Voor zⁿ kunnen we nu schrijven: zⁿ=rⁿ*e^i*n*fi=rⁿ(cos(n*fi)+i*sin(n*fi)), zodat dit voor een natuurlijk getal n de n-de macht van een complex getal definieert. We kunnen nu ook de n-demachtswortel uit een complex getal z=r*e^i*fi definiëren als een complex getal w=r'*e^i*fi' met de eigenschap wⁿ=z. Dit geeft: wⁿ=r'ⁿ*e^i*n*fi'=r*e^i*fi, dus r'=r^1/n en fi'=fi/n, dus w=z^1/n=r^1/n(cos(fi/n)+i*sin(fi/n)).

[eindhovenrulez]

Wij leren bij wiskunde dat de wortel uit een negatief getal niet bestaat

(4Havo)

[Miess]

mathfreak schreef op 29-03-2003 @ 19:04:
Hier moet even de volgende kanttekening bij gemaakt worden: we definiëren het getal i als een niet-reël getal met de eigenschap i²=-1, zodat de vergelijking x²=a ook oplossingen heeft voor a<0. Formeel is het dus niet juist om i te definiëren als de (vierkants)wortel uit -1.
Maken we gebruik van de definitie e^i*x=cos(x)+i*sin(x) (de formule van Euler), dan is een complex getal z=a+b*i te schrijven als z=a+b*i=r*e^i*fi
=r(cos(fi)+i*sin(fi)) met r=|z|=sqrt(a²+b²) (de absolute waarde van z) en tan(fi)=b/a=arg(z) (het argument van z).
Voor zⁿ kunnen we nu schrijven: zⁿ=rⁿ*e^i*n*fi=rⁿ(cos(n*fi)+i*sin(n*fi)), zodat dit voor een natuurlijk getal n de n-de macht van een complex getal definieert. We kunnen nu ook de n-demachtswortel uit een complex getal z=r*e^i*fi definiëren als een complex getal w=r'*e^i*fi' met de eigenschap wⁿ=z. Dit geeft: wⁿ=r'ⁿ*e^i*n*fi'=r*e^i*fi, dus r'=r^1/n en fi'=fi/n, dus w=z^1/n=r^1/n(cos(fi/n)+i*sin(fi/n)).

Klopt allemaal, mijn reply was slechts een samenvatting.

[Miess]

eindhovenrulez schreef op 29-03-2003 @ 19:08:
Wij leren bij wiskunde dat de wortel uit een negatief getal niet bestaat

(4Havo)

Volgens de 'normale-wiskunde' klopt dat ook, dit stuk complexe wiskunde behoort ook niet tot de examenstof wiskunde van de HAVO of VWO. Als zebra-blok (een stuk wiskunde wat niet tot het normale curriculum behoort, maar een stuk wiskunde is dat op het HBO of WO gedaan wordt. Voor het schoolexamen wiskunde is het verplicht minimaal 1 zebrablok te doen.) kan de docent het onderdeel complexe getallen kiezen. Omdat ik dit het leukste onderdeel vond in het eerste jaar van mijn wiskunde studie en het bovendien vrij eenvoudig is, heb ik de complexe getallen als zebra-blok voor mijn 5VWO klas gekozen, we zijn er nu mee bezig.

[Miess]

>eindhovenrulez-> gezien je naam neem ik aan dat je uit Eindhoven komt, mag ik vragen op welke school je zit (als je tenminste in Eindhoven op school zit)?
Ik geef zelf namelijk ook aan een 4HAVO klas op een middelbare school in Eindhoven les.

[eindhovenrulez]

Ik zit op het Christiaan Huygens BBL

[eindhovenrulez]

kheb eigenlijk best wel een hekel aan zoiets, leer je dat een wortel uit een negatief getal niet kan en niet bestaat, blijkt dat niet waar te zijn

[eindhovenrulez]

-1 * -1 is toch +1?? dus een wortel uit een negatief getal is dan toch niet mogelijk?

[Blitzkrieg Bop]

nee maar eeen derde machtswortel dus wel. Net als een 5e machts wortel of een 7e machtswortel etc.

[mathfreak]

eindhovenrulez schreef op 29-03-2003 @ 19:54:
kheb eigenlijk best wel een hekel aan zoiets, leer je dat een wortel uit een negatief getal niet kan en niet bestaat, blijkt dat niet waar te zijn
-1 * -1 is toch +1?? dus een wortel uit een negatief getal is dan toch niet mogelijk?

Als je je beperkt tot het werken met reële getallen (zoals dat hier in Nederland in het middelbaar onderwijs gebeurt) is het inderdaad niet mogelijk om een getal x te vinden dat aan de vergelijking x²=a met a<0 voldoet, maar het is mogelijk om de verzameling reële getallen uit te breiden tot de verzameling complexe getallen door een niet-reëel getal i met de eigenschap i²=-1 te definiëren, zoals ik in mijn vorige reply al aangaf, zodat het wel mogelijk is om voor a<0 een x te vinden met de eigenschap x²=a.